Tìm m để phương trình có nghiệm nguyên

thptnguyendinhchieu Tháng Sáu 23, 2024

0 3 minutes read

Tìm m để phương trình có nghiệm nguyên là tài liệu vô cùng hữu ích mà THPT Nguyễn Đình Chiểu muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các bạn lớp 9 tham khảo.

Tìm m để phương trình có nghiệm nguyên là một trong những dạng toán cơ bản thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra học kì, bài thi vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu tổng hợp cách tìm m, ví dụ minh họa và một số bài tập kèm theo. Qua đó giúp các bạn có thêm nhiều gợi ý ôn tập, củng cố kiến thức để nhanh chóng biết cách giải bài tập Toán. Ngoài ra các bạn xem thêm tài liệu Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện.

Bạn đang xem: Tìm m để phương trình có nghiệm nguyên

Table of Contents

I. Cách tìm m để phương trình có nghiệm nguyên

1. Các kiến thức liên quan:

Tính chất chia hết của số nguyên.
Tính chất của số chính phương.
Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có 2 nghiệm x₁; x₂ thì :

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂).

2. Các phương pháp giải phương trình bậc 2 với nghiệm nguyên:

– Phương pháp đánh giá

+Sử dụng điều kiện có nghiệm ∆ ≥ 0 để chặn khoảng giá trị của biến.

+Đưa về tổng các bình phương để đánh giá

– Sử dụng điều kiện ∆ là số chính phương.

– Đổi vai trò của ẩn

– Đưa về phương trình ước số.

– Tham số hóa để đưa về phương trình ước số.

– Rút ẩn này theo ẩn kia, rồi tách phần nguyên.

– Nếu phương trình có các nghiệm đều nguyên ta có thể áp dụng hệ thức Vi-ét.

II. Ví dụ tìm m để phương trình có nghiệm nguyên

Ví dụ 1: Cho phương trình ${x^2} - 2mx + m - 4 = 0$ (m là tham số). Tìm m nguyên để phương trình có hai nghiệm nguyên.

Hướng dẫn giải

Ta có 2 cách làm bài toán được trình bày như sau:

Cách 1:

Ta có:

$Delta ' = {m^2} - left( {m - 4} right) = {m^2} - m + 4A$

Để phương trình có nghiệm nguyên thì ∆’ phải là số chính phương

Do đó ta có:

$begin{matrix} {m^2} - m + 4 = {k^2},left( {k in mathbb{Z}} right) hfill \ Rightarrow 4{m^2} - 4m + 16 = 4{k^2} hfill \ Rightarrow {left( {2m - 1} right)^2} - 4{k^2} = - 15 hfill \ Rightarrow left( {2m - 1 - 2k} right)left( {2m - 1 + 2k} right) = - 15 hfill \ end{matrix}$

Do k² luôn lớn hơn 0 nên không ảnh hưởng tới giá trị cần tìm của m ta giả sử k ≥ 0 ta có:

(2m – 1 + 2k) ≥ (2m – 1 – 2k)

Do đó ta có các trường hợp như sau:

$begin{matrix} left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2m - 1 - 2k = - 1} \ {2m - 1 + 2k = 15} end{array}} right. Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {m = 4} \ {k = 4} end{array}} right. hfill \ left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2m - 1 - 2k = - 3} \ {2m - 1 + 2k = 55} end{array}} right. Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {m = 1} \ {k = 2} end{array}} right. hfill \ left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2m - 1 - 2k = - 5} \ {2m - 1 + 2k = 3} end{array}} right. Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {m = 0} \ {k = 2} end{array}} right. hfill \ left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2m - 1 - 2k = - 15} \ {2m - 1 + 2k = 1} end{array}} right. Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {m = - 3} \ {k = 4} end{array}} right. hfill \ end{matrix}$

Thử kiểm tra lại kết quả, thay các giá trị m = -3, m = 0, m = 4 vào phương trình ta thấy đều thỏa mãn điều kiện bài toán

Cách 2: Sử dụng hệ thức Vi – et

Gọi x_1,, x₂ (x₁ < x₂) là hai nghiệm nguyên của phương trình ta có:

$begin{matrix} left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = 2m} \ {{x_1}{x_2} = m - 4} end{array}} right. hfill \ Rightarrow {x_1} + {x_2} - 2{x_1}{x_2} = 8 hfill \ Rightarrow 2left( {{x_1} + {x_2}} right) - 4{x_1}{x_2} - 1 = 15 hfill \ Rightarrow left( {2{x_1} - 1} right)left( {2{x_2} - 1} right) = - 15 hfill \ end{matrix}$

Trường hợp 1: $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2{x_1} - 1 = - 1} \ {2{x_2} - 1 = 15} end{array}} right. Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = 0} \ {{x_2} = 8} end{array} Rightarrow m = 4} right.$

Trường hợp 2: $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2{x_1} - 1 = - 5} \ {2{x_2} - 1 = 3} end{array}} right. Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = - 2} \ {{x_2} = 2} end{array} Rightarrow m = 0} right.$

Trường hợp 3: $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2{x_1} - 1 = - 15} \ {2{x_2} - 1 = 1} end{array}} right. Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = - 7} \ {{x_2} = 1} end{array} Rightarrow m = - 3} right.$

Trường hợp 4: $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2{x_1} - 1 = - 3} \ {2{x_2} - 1 = 5} end{array}} right. Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = - 1} \ {{x_2} = 3} end{array} Rightarrow m = 1} right.$

Thử lại kêt quả với m = 0, m = 3, m = -3, m = 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 2: Tìm các số nguyên m để phương trình ${x^2} - left( {4 + m} right)x + 2m = 0$ có các nghiệm là số nguyên.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$begin{matrix} {m^2} + 16 = {k^2},left( {k in mathbb{Z}} right) hfill \ Rightarrow {m^2} - {k^2} = - 16 hfill \ Rightarrow left( {m + k} right)left( {m - k} right) = - 16 hfill \ end{matrix}$