Lớp 9

Giải Toán 9 Bài 4: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Giải bài tập SGK Toán 9 trang 79, 80 giúp các em học sinh lớp 9 xem gợi ý giải các bài tập của Bài 4: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung thuộc chương trình Hình học 9 Chương 3.

Qua đó các em sẽ nhanh chóng hoàn thiện toàn bộ bài tập của bài 4 Chương III Hình học 9 tập 2. Ngoài ra các em tham khảo thêm nhiều tài liệu khác tại chuyên mục Toán 9. 

Bạn đang xem: Giải Toán 9 Bài 4: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Lý thuyết Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

1. Định nghĩa

Góc widehat{BAx} có đỉnh A nằm trên đường tròn, cạnh Ax là một tia tiếp tuyến còn cạnh kia chứa dây cung AB. Ta gọi widehat{BAx} là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung.

2. Định lí

Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn

3. Hệ quả

Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Giải bài tập toán 9 trang 79, 80 Tập 2

Bài 27 (trang 79 SGK Toán 9 Tập 2)

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Lấy điểm P khác A và B trên đường tròn. Gọi T là giao điểm của AP với tiếp tuyến tại B của đường tròn. Chứng minh

Xem gợi ý đáp án

Vẽ hình minh họa:

Ta có:widehat{PBT} là góc tạo bởi tiếp tuyến BT và dây cung BP chắn cung overparen{PmB}.

Rightarrow widehat{PBT} = dfrac{1}{2} sđ overparen{PmB} (1)

Lại có:widehat{PAO} là góc nội tiếp chắn cung overparen{PmB}

Rightarrow widehat{PAO} = dfrac{1}{2} sđ overparen{PmB} (2)

Mặt khác:widehat{PAO}= widehat{APO} (3)

Từ (1), (2), (3), suy ra widehat{APO} =widehat{PBT} (đpcm)

Bài 28 (trang 79 SGK Toán 9 Tập 2)

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O’) cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai P. Tia PB cắt đường tròn (O’) tại Q. Chứng minh đường thẳng AQ song song với tiếp tuyến tại P của đường tròn (O).

Xem gợi ý đáp án

Nối AB.

Xét đường tròn (O’) ta có: widehat {AQB} = widehat {PAB} (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB). (1)

Xét đường tròn (O) ta có: widehat {PAB} = widehat {BPx} (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung PB). (2)

Từ (1) và (2) có widehat {AQB} = widehat {BPx} , (= widehat {PAB}).

Mà hai góc này là hai góc so le trong Rightarrow AQ // Px.

Bài 29 (trang 79 SGK Toán 9 Tập 2)

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến kẻ từ A đối với đường tròn (O’) cắt (O) tại C và đối với đường tròn (O) cắt (O’) tại D. Chứng minh widehat {CBA} = widehat {DBA}

Xem gợi ý đáp án

Xét đường tròn (O’) có widehat {CAB} là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung AB

Nên widehat {CAB} = dfrac{1}{2}sđ overparen{AmB} (1)

widehat {ADB} = dfrac{1}{2} sđ overparen{AmB} (2) (góc nội tiếp chắn cung overparen{AmB}).

Từ (1), (2) suy ra: widehat {CAB} = widehat {ADB} (*)

Xét đường tròn (O), ta có:

widehat {BAD} là góc tạo bởi một tiếp tuyến và dây cung AB

Nên widehat {BAD} = dfrac{1}{2}sđ overparen{AnB} (3)

Lại có widehat {ACB} = dfrac{1}{2} sđ overparen{AnB} (4) (góc nội tiếp chắn cung overparen{AnB}).

Từ (3), (4) suy ra:widehat {BAD} = widehat {ACB} (**)

Hai tam giác ABD và CBA có widehat {CAB} = widehat {ADB} (theo (*)) và widehat {BAD} = widehat {ACB} (theo (**)) nên Delta ACB backsim Delta DABleft( {g - g} right) suy ra widehat {CBA} = widehat {DBA} (hai góc tương ứng) (đpcm).

Bài 30 (trang 79 SGK Toán 9 Tập 2)

Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung , cụ thể là: Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB), có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn(h.29).

Gợi ý: có thể chứng minh trực tiếp hoặc chứng minh bằng phản chứng.

Xem gợi ý đáp án

Chứng minh trực tiếp

Kẻ OH bot AB tại H và cắt (O) tại C như hình vẽ.

Suy ra H là trung điểm của AB và C là điểm chính giữa cung AB.

Theo giả thiết ta có: widehat {BAx} = dfrac{1}{2}sđ overparen{AB}.

Lại có: widehat {{O_1}}=sđ overparen{AC}= dfrac{1}{2}sđ overparen{AB} (góc ở tâm chắn cung AC).

Suy ra: widehat {BAx} = widehat {{O_1}}.

Ta có: widehat {{O_1}}+ widehat {{OAB}} =90^0 (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông OAH).

Rightarrow widehat {BAx}+ widehat {{OAB}} =90^0 hay OA bot Ax.

Vậy Ax phải là tiếp tuyến của (O) tại A.

Giải bài tập toán 9 trang 80 Tập 2: Luyện tập

Bài 31 (trang 80 SGK Toán 9 Tập 2)

Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC = R. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C cắt nhau ở A. Tính:  widehat {ABC},widehat {BAC}.

Xem gợi ý đáp án

Tam giác BOC có BC = OB = OC = R

Suy ra tam giác BOC là tam giác đều.

Xét (O) ta có: widehat {ABC} là góc tạo bởi tia tiếp tuyến BA và dây cung BC của (O).

Ta có: sđ overparen{BC}=widehat {BOC}=60^0 (góc ở tâm chắn overparen{BC} ) vàwidehat {ABC}= dfrac {1}{2} sđoverparen{BC}=30^0 (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn overparen{BC}).

Vì AB,AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O) nên widehat {ABO}=widehat {ACO}=90^0

Xét tứ giác OBAC có widehat {ABO}+widehat {ACO}+widehat {BOC}+widehat {BAC}=360^0

Suy ra widehat {BAC} = {360^0} - widehat {ABO}-widehat {ACO}-widehat {BOC}

=360^0- {90^0}-90^0 - {60^0} = {120^0}.

Bài 32 (trang 80 SGK Toán 9 Tập 2)

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Một tiếp tuyến của đường tròn tại P cắt đường thẳng AB tại T (điểm B nằm giữa O và T). Chứng minh: widehat {BTP} + 2.widehat {TPB} = {90^0}

Xem gợi ý đáp án

Vẽ hình minh họa

Ta có widehat {TPB} là góc tạo bởi tiếp tuyến PT và dây cung PB của đường tròn (O) nên widehat {TPB}=dfrac{1}{2}sđoverparen{BP}(cung nhỏ overparen{BP})(1)

Lại có:widehat {BOP}=sđoverparen{BP} (góc ở tâm chắn cung overparen{BP}). (2)

Từ (1) và (2) suy ra widehat {BOP} = 2.widehat {TPB}.

Trong tam giác vuông TPO ( OP bot TP vì TP là tiếp tuyến) ta có widehat {BOP} + widehat {BTP}=90^0.

hay widehat {BTP} + 2.widehat {TPB} = {90^0}.

Bài 33 (trang 80 SGK Toán 9 Tập 2)

Cho A, B, C là ba điểm trên một đường tròn, At là tiếp tuyến của đường tròn tại A. Đường thẳng song song với At cắt AB tại M và cắt AC tại N. Chứng minh AB.AM = AC.AN.

Xem gợi ý đáp án

Vẽ hình

Xét đường tròn (O) ta có:

widehat C là góc nội tiếp chắn cung AB

widehat{BAt} là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung AB.

Rightarrow widehat {BAt} = widehat C. (1)

Lại có vì MN//At nên widehat{AMN} = widehat {BAt} (so le trong) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: widehat{AMN} = widehat C (3)

Xét hai tam giác AMN và ACB ta có:

widehat A chung

widehat M = widehat C, (theo (3))

Vậy ∆AMN đồng dạng ∆ACB, (g-g)

displaystyle Rightarrow {{AN} over {AB}} = {{AM} over {AC}} (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒ AB. AM = AC . AN (đpcm).

Bài 34 (trang 80 SGK Toán 9 Tập 2)

Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn đó. Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB.

Chứng minh MT2 = MA.MB.

Xem gợi ý đáp án

Vẽ hình

Xét hai tam giác BMT và TMA, chúng có:

widehat{M} chung

widehat{B} = widehat{T} (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến cùng chắn cung nhỏ overparen{AT})

⇒ ∆BMT đồng dạng ∆TMA , (g-g).

Rightarrow dfrac{MT}{MA} = dfrac{MB}{MT} (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

hay MT^2 = MA. MB (đpcm).

Bài 35 (trang 80 SGK Toán 9 Tập 2)

Trên bờ biển có một ngọn hải đăng cao 40m. Với khoảng cách bao nhiêu kilomet thì người quan sát trên tàu bắt đầu trông thấy ngọn đèn này, biết rằng mắt người quan sát ở độ cao 10m so với mực nước biển và bán kính Trái Đất gần bằng 6400km (h.30)?

Hướng dẫn: Áp dụng kết quả của bài tập 34.

Xem gợi ý đáp án

Áp dụng kết quả bài 34 ta có:

+ MT2 = MA.MB

MA = 40m = 0,04km ;

MB = MA + AB = MA + 2R = 12800,04 km.

⇒ MT ≈ 22,63 km

+ M’T2 = M’A’.M’B’

M’A’ = 10m = 0,01km ;

M’B’ = M’A’ + A’B’ = M’A’ + 2R = 12800,01 km

⇒ M’T ≈ 11,31 km

⇒ MM’ = MT + M’T = 33,94 ≈ 34 km .

Vậy khi cách ngọn hải đăng khoảng 34km thì người thủy thủ bắt đầu trông thấy ngọn hải đăng.

Đăng bởi: THPT Nguyễn Đình Chiểu

Chuyên mục: Tài Liệu Lớp 9

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!