Bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng

thptnguyendinhchieu Tháng Sáu 22, 2024

0 3 minutes read

Hệ thức Vi-et hay công thức Vi-ét (Viet) thể hiện mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình đa thức trong trường số phức và các hệ số do nhà toán học Pháp tìm ra. Nhằm giúp các bạn học sinh lớp 9 có nhiều tài liệu học tập môn Toán THPT Nguyễn Đình Chiểu giới thiệu Bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.

Bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng là tài liệu bổ ích, bao gồm 5 dạng bài tập cơ bản như: nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai, lập phương trình bậc hai, tìm hai số biết tổng và tích của chúng, xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai và dạng toán về biểu thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai. Ngoài ra các bạn tham khảo thêm tài liệu tổng hợp kiến thức và dạng bài tập toán 9, bài tập Hệ thức lượng trong tam giác vuông. Hy vọng với tài liệu này các bạn có thêm nhiều tư liệu tham khảo, củng cố kiến thức môn Toán để đạt được kết quả cao trong các bài kiểm tra, bài thi vào lớp 10 sắp tới. Chúc các bạn học tập tốt.

Bạn đang xem: Bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng

Table of Contents

Bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng

Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

1. Dạng đặc biệt: Phương trình bậc hai có một nghiệm là 1 hoặc -1 Vi du 1: Nhầm nghiệm của các phương trình sau:

a) $3 x^{2}+8 x-11=0$

b) $2 x^{2}+5 x+3=0$

1.2. Cho phương trình bậc hai, có một hệ số cho biết, cho truớc một nghiệm, tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số chura biết của phương trình:

Vi dụ 2:

a) Phương trình $x^{2}-2 p x+5=0$ có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm còn lại của phương trình.

b) Phương trình $x^{2}+5 x+q=0$ có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm còn lại của phương trình

c) Phương trình $x^{2}-7 x+q=0$ biết hiệu hai nghiệm bằng 11 . Tìm q và hai nghiệm của phương trình

d) Phương trình $x^{2}-q x+50=0$ có hai nghiệm trong đó một nghiệm gấp đôi nghiệm kia, tìm q và hai nghiệm đó.

Bài 1: Tìm nghiệm của phương trình

a) 5 $x^{2}+24 x+19=0$

b) $x^{2}-(m+5) x+m+4=0$

Bài 2: Xác định m và tìm nghiệm còn lại của phương trình

a) $x^{2}+m x-35=0$ biết một nghiệm bằng -5

b) $2 x^{2}-(m+4) x+m=0$ biết một nghiệm bằng -3

c) $m x^{2}-2(m-2) x+m-3=0$ biết một nghiệm bằng 3

2. Dạng 2: Lập phương trình bậc hai

2.1. Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm Vi dụ 1: Lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm là 3 và 2

Ví dụ 2: Cho $mathrm{x}_{1}=frac{sqrt{3}+1}{2} ; mathrm{x}_{2}=frac{1}{1+sqrt{3}}$

Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm: $mathrm{x}_{1} ; mathrm{x}_{2}.$

2.2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước.

Vi dụ 1: Cho phương trình $x^{2}-3 x+2=0$ có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}.$

Vi dụ 2: Cho phương trình $3 x^{2}+5 x-6=0$ có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}.$ . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm $y_{1}=x_{1}+frac{1}{x_{2}} ; y_{2}=x_{2}+frac{1}{x_{1}}$

Ví dụ 3: Tìm các hệ số p và q của phương trình: $mathrm{x}^{2}+mathrm{px}+mathrm{q}=0$ sao cho hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}.$ của phương trình thoả mãn hệ: $left{begin{array}{l}mathrm{x}_{1}-mathrm{x}_{2}=5 \ mathrm{x}_{1}^{3}-mathrm{x}_{2}^{3}=35end{array}right.$

* Bài tập áp dụng:

Bài 1: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là:

a) 8 và -3

b) 36 và -104

c) $1+sqrt{2} và 1-sqrt{2}$

d) $sqrt{2}+sqrt{3}$ và $frac{1}{sqrt{2}+sqrt{3}}$

Bài 2: Cho phương trình $x^{2}-5 x-1=0$ có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm $y_{1}=x_{1}^{4} ; y_{2}=x_{2}^{4}$

Bài 3: Cho phương trình $x^{2}-2 x-8=0$ có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm $y_{1}=x_{1}-3 ; y_{2}=x_{2}-3$

Bài 4: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng nghịch đảo các nghiệm của phương $x^{2}+m x-2=0$

Bài 5: Cho phương trình $x^{2}-2 x-m^{2}=0$ có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm $y_{1}=2 x_{1}-1 ; y_{2}=2 x_{2}-1$

Bài 6: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ thỏa mãn $left{begin{array}{l}x_{1}-x_{2}=2 \ x_{1}^{3}-x_{2}{ }^{3}=26end{array}right.$