Toán 10 Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

0 4 minutes read

Giải Toán 10 Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ sách Chân trời sáng tạo là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh lớp 10 có thêm nhiều gợi ý tham khảo, dễ dàng đối chiếu kết quả khi làm bài tập toán trang 62, 63 tập 2.

Giải SGK Toán 10 Bài 3 trang 62, 63 Chân trời sáng tạo tập 2 được biên soạn chi tiết, bám sát nội dung trong sách giáo khoa. Mỗi bài toán đều được giải thích cụ thể, chi tiết. Qua đó giúp các em củng cố, khắc sâu thêm kiến thức đã học trong chương trình chính khóa; có thể tự học, tự kiểm tra được kết quả học tập của bản thân.

Bạn đang xem: Toán 10 Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Giải Toán 10 trang 62, 63 Chân trời sáng tạo – Tập 2

Bài 1 trang 62

Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

$a.x^2+y^2-6x-8y+21=0;$

$b. x^{2} + y^{2} - 2x + 4y + 2 = 0;$

$c. x^{2} + y^{2} - 3x + 2y + 7 = 0;$

$d. 2x^{2} + 2y^{2} + x + y - 1 = 0$

Gợi ý đáp án

a. Phương trình có dạng $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0$ với a = 3, b = 4, c = 21

Ta có: 0″ width=”281″ height=”20″ data-type=”0″ data-latex=”a^{2} + b^{2} – c = 3^{2} + 4^{2} – 21 = 4 > 0″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=a%5E%7B2%7D%20%2B%20b%5E%7B2%7D%20-%20c%20%3D%203%5E%7B2%7D%20%2B%204%5E%7B2%7D%20-%2021%20%3D%204%20%3E%200″>. Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(3; 4) và có bán kính $R = sqrt{4} = 2.$

b. Phương trình có dạng $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0$ với a = 1, b = -2, c = 2

Ta có: 0″ width=”300″ height=”24″ data-type=”0″ data-latex=”a^{2} + b^{2} – c = 1^{2} + (-2)^{2} – 2 = 3 > 0″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=a%5E%7B2%7D%20%2B%20b%5E%7B2%7D%20-%20c%20%3D%201%5E%7B2%7D%20%2B%20(-2)%5E%7B2%7D%20-%202%20%3D%203%20%3E%200″>. Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(1; -2) và có bán kính $R = sqrt{3}.$

c. Phương trình có dạng $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0$ với $a = frac{3}{2}, b = -1, c = 7$

Ta có: <img alt="a^{2} + b^{2} – c = (frac{3}{2})^{2} + (-1)^{2} – 74 = -frac{15}{4} < 0" width="361" height="40" data-type="0" data-latex="a^{2} + b^{2} – c = (frac{3}{2})^{2} + (-1)^{2} – 74 = -frac{15}{4} . Vậy đây không phải là phương trình đường tròn.

d. Ta có: $2x^{2} + 2y^{2} + x + y - 1 = 0 Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + frac{1}{2}x + frac{1}{2}y - frac{1}{2} = 0.$

Phương trình có dạng $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0$ với $a = -frac{1}{4}, b = -frac{1}{4} , c = -frac{1}{2}$

Ta có: 0.” width=”361″ height=”41″ data-type=”0″ data-latex=”a^{2} + b^{2} – c = (-frac{1}{4})^{2} + (-frac{1}{4})^{2} + frac{1}{2} = frac{5}{8} > 0.” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=a%5E%7B2%7D%20%2B%20b%5E%7B2%7D%20-%20c%20%3D%20(-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D)%5E%7B2%7D%20%2B%20(-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D)%5E%7B2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B5%7D%7B8%7D%20%3E%200.”>

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm $I(-frac{1}{4}; -frac{1}{4})$ và bán kính $R = frac{sqrt{10}}{4}$

Bài 2 trang 62

Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a. (C) có tâm I(1; 5) và có bán kính r = 4;

b. (C) có đường kính MN với M(3; -1) và N(9; 3);

c. (C) có tâm I(2; 1) và tiếp xúc với đường thẳng 5x – 12y + 11 = 0;

d. (C) có tâm A(1; -2) và đi qua điểm B(4; -5).

Gợi ý đáp án

a. Phương trình đường tròn (C) tâm I(1; 5) và bán kính r = 4 là:

$(x - 1)^{2} + (y - 5)^{2} = 16$

b. Tâm I của đường tròn (C) là trung điểm của $MN Rightarrow I = (frac{3+9}{2}; frac{-1+3}{2}) Rightarrow I = (6; 1)$

Ta có: $R = MI = sqrt{(6 - 3)^{2} + (1 + 1)^{2}} = sqrt{13}$

Phương trình đường tròn (C) tâm I(6; 1) và bán kính $R = sqrt{13}$ là:

$(x - 6)^{2} + (y - 1)^{2} = 13$

c. Ta có: $R = d(I, d) = frac{|5. 2 - 12. 1 + 11|}{sqrt{5^{2} + (-12)^{2}}} = frac{9}{13}$

Phương tròn đường tròn (C) tâm I(2; 1) và bán kính $R = frac{9}{13}$ là:

$(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = frac{81}{169}$

d. Ta có $R = AB = sqrt{(4 - 1)^{2} + (-5 + 2)^{2}} = 3sqrt{2}$

Phương trình đường tròn (C) tâm A(1; -2) và bán kính $R = 3sqrt{2}$ là:

$(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 18$

Bài 3 trang 62

Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có tọa độ các đỉnh là:

a. M(2; 5), N(1; 2), P(5; 4);

b. A(0; 6), B(7; 7), C(8; 0)

Gợi ý đáp án

a. Phương trình đường tròn có dạng $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0.$

Thay tọa độ các đỉnh M(2; 5), N(1; 2), P(5, 4) vào phương trình đường tròn, ta được hệ phương trình:

$left{begin{matrix}2^{2} + 5^{2} - 4a - 10b + c = 0\ 1^{2} + 2^{2} - 2a - 4b + c = 0\ 5^{2} + 4^{2} - 10a - 8b + c = 0end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix}4a + 10b - c = 29\ 2a + 4b - c = 5\ 10a + 8b - c = 41end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix}a = 3\ b = 3\ c = 13 end{matrix}right.$

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là:

$x^{2} + y^{2} - 6x - 6y + 13 = 0$

b. Phương trình đường tròn có dạng $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0.$

Thay tọa độ các đỉnh A(0; 6), B(7; 7), C(8; 0) vào phương trình đường tròn, ta được hệ phương trình:

$left{begin{matrix} 6^{2} - 12b + c = 0\ 7^{2} + 7^{2} - 14a - 14b + c = 0\ 8^{2} - 16a + c = 0end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix}12b - c = 36\ 14a + 14b - c = 98\ 16a - c = 64end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix}a = 4\ b = 3\ c = 0end{matrix}right.$

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

$x^{2} + y^{2} - 8x - 6y = 0$

Bài 4 trang 62

Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục Ox, Oy và đi qua điểm A(4; 2).

Gợi ý đáp án

Gọi I(a; b) là tâm đường tròn (C).

Ta có: $R = d(I; Ox) = d(I; Oy) Rightarrow R = a = b Rightarrow (C)$ có tâm I(a; a) và bán kính R = a.

$Rightarrow$ Phương trình đường tròn (C) là: $(x - a)^{2} + (y - a)^{2} = a^{2}$

Ta có $A(4; 2) in (C)$ nên $(4 - a)^{2} + (2 - a)^{2} = a^{2}$

$Leftrightarrow 16 - 8a + a^{2} + 4 - 4a + a^{2} = a^{2}$

$Leftrightarrow a^{2} - 12a + 20 = 0 Leftrightarrow a = 10$ hoặc a = 2

Vậy $(C): (x - 10)^{2} + (y - 10)^{2} = 100 hoặc (x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 4$

Bài 5 trang 62

Cho đường tròn (C) có phương trình $x^{2} + y^{2} - 2x - 4y - 20 = 0.$

a. Chứng tỏ rằng điểm M(4; 6) thuộc đường tròn (C).

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(4; 6).

c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng 4x + 3y + 2022 = 0

Gợi ý đáp án

a. Ta có: $4^{2} + 6^{2} - 2. 4 - 4. 6 - 20 = 0$

Vậy điểm M(4; 6) thuộc đường tròn (C).

b. Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính $R = sqrt{1^{2} + 2^{2} + 20} = 5$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(4; 6) là:

$(1 - 4)(x - 4) + (2 - 6)(y - 6) = 0 Leftrightarrow -3x - 4y + 36 = 0 Leftrightarrow 3x + 4y - 36 = 0$

c. Tiếp tuyến $Delta$ của (C) song song với đường thẳng 4x + 3y + 2022 = 0 có dạng

$Delta: 4x + 3y + c = 0 (c neq 2022)$

Ta có: $R = d(I; Delta) Leftrightarrow frac{|4.1 + 3. 2 + c|}{sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = 5 Leftrightarrow frac{|10 + c|}{5}$

$= 5 Leftrightarrow |10 + c| = 25 Leftrightarrow c = 15 hoặc c = -35$

Vậy $Delta: 4x + 3y + 15 = 0$ hoặc $Delta: 4x + 3y - 35 = 0$

Bài 6 trang 62

Một cái cổng hình bán nguyệt rộng 8,4m, cao 4,2m như Hình 5. Mặt đường dưới cổng được chia thành hai làn xe ra vào.

a. Viết phương trình mô phỏng cái cổng.

b. Một chiếc xe tải rộng 2,2 m và cao 2,6m đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng hay không?

Gợi ý đáp án

a. Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ.

Ta có phương trình đường tròn tâm O(0; 0) bán kính $R = 4,2 là: x^{2} + y^{2} = 17,64$

Rightarrow Phương trình mô phỏng cái cổng là: $x^{2} + y^{2} = 17,64 (y geq 0)$

b. Thay x = 2,2 vào phương trình đường tròn, ta được 2,6″ width=”269″ height=”37″ data-type=”0″ data-latex=”y = sqrt{17, 64 – 2,2^{2}} approx 3,58 > 2,6″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=y%20%3D%20%5Csqrt%7B17%2C%2064%20-%202%2C2%5E%7B2%7D%7D%20%5Capprox%203%2C58%20%3E%202%2C6″>

Vậy xe tải rộng 2,2m và cao 2,6m đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng.

Đăng bởi: THPT Nguyễn Đình Chiểu

Chuyên mục: Tài Liệu Lớp 10