Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

thptnguyendinhchieu Tháng Sáu 23, 2024

0 2 minutes read

Giải Toán 10 Bài 11 Tích vô hướng của hai vectơ sách Kết nối tri thức với cuộc sống là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh lớp 10 có thêm nhiều gợi ý tham khảo, dễ dàng đối chiếu kết quả khi làm bài tập toán trang 70.

Giải SGK Toán 10 Bài 11 trang 70 tập 1 được biên soạn chi tiết, bám sát nội dung trong sách giáo khoa. Mỗi bài toán đều được giải thích cụ thể, chi tiết. Qua đó giúp các em củng cố, khắc sâu thêm kiến thức đã học trong chương trình chính khóa; có thể tự học, tự kiểm tra được kết quả học tập của bản thân. Vậy sau đây là giải Toán 10 bài Tích vô hướng của hai vectơ, mời các bạn cùng đón đọc.

Bạn đang xem: Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Table of Contents

Giải Toán 10 trang 70 Kết nối tri thức Tập 1

Bài 4.21 trang 70

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ $overrightarrow a$ và $overrightarrow b$ trong mỗi trường hợp sau:

$a) overrightarrow a = ( - 3;1),;overrightarrow b = (2;6)$

$b) overrightarrow a = (3;1),;overrightarrow b = (2;4)$

$c) overrightarrow a = ( - sqrt 2 ;1),;overrightarrow b = (2; - sqrt 2 )$

Gợi ý đáp án

$overrightarrow a .overrightarrow b = ( - 3).2 + 1.6 = 0$

$Rightarrow overrightarrow a bot overrightarrow b hay left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = {90^o}.$

$left{ begin{array}{l}overrightarrow a .overrightarrow b = 3.2 + 1.4 = 10\|overrightarrow a |, = sqrt {{3^2} + {1^2}} = sqrt {10} ;;,|overrightarrow b |, = sqrt {{2^2} + {4^2}} = 2sqrt 5 end{array} right.$

$begin{array}{l} Rightarrow cos left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = frac{{10}}{{sqrt {10} .2sqrt 5 }} = frac{{sqrt 2 }}{2}\ Rightarrow left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = {45^o}end{array}$

c) Dễ thấy: $overrightarrow a$ và $overrightarrow b$ cùng phương do $frac{{ - sqrt 2 }}{2} = frac{1}{{ - sqrt 2 }}$

Hơn nữa:<img alt="overrightarrow b = left( {2; – sqrt 2 } right) = – sqrt 2 .left( { – sqrt 2 ;1} right) = – sqrt 2 .overrightarrow a ;; – sqrt 2 < 0" width="441" height="34" data-type="0" data-latex="overrightarrow b = left( {2; – sqrt 2 } right) = – sqrt 2 .left( { – sqrt 2 ;1} right) = – sqrt 2 .overrightarrow a ;; – sqrt 2

Do đó: $overrightarrow a$ và $overrightarrow b$ ngược hướng.

$Rightarrow left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = {180^o}$

Bài 4.22 trang 70

Tìm điều kiện của $overrightarrow u ,;overrightarrow v$ để:

$a) overrightarrow u .;overrightarrow v = left| {overrightarrow u } right|.;left| {overrightarrow v } right|$

$b) overrightarrow u .;overrightarrow v = - left| {overrightarrow u } right|.;left| {overrightarrow v } right|$

Gợi ý đáp án

a) Ta có: $overrightarrow u .;overrightarrow v = left| {overrightarrow u } right|.;left| {overrightarrow v } right|.cos left( {overrightarrow u ,;overrightarrow v } right) = left| {overrightarrow u } right|.;left| {overrightarrow v } right|$

$Rightarrow cos left( {overrightarrow u ,;overrightarrow v } right) = 1 Leftrightarrow left( {overrightarrow u ,;overrightarrow v } right) = {0^o}$

Nói cách khác: $overrightarrow u ,;overrightarrow v$ cùng hướng.

Ta có: $overrightarrow u .;overrightarrow v = left| {overrightarrow u } right|.;left| {overrightarrow v } right|.cos left( {overrightarrow u ,;overrightarrow v } right) =- left| {overrightarrow u } right|.;left| {overrightarrow v } right|$

$Rightarrow cos left( {overrightarrow u ,;overrightarrow v } right) = - 1 Leftrightarrow left( {overrightarrow u ,;overrightarrow v } right) = {180^o}$

Nói cách khác: $overrightarrow u ,;overrightarrow v$ ngược hướng.

Bài 4.23 trang 70

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (1; 2), B(-4; 3). Gọi M (t; 0) là một điểm thuộc trục hoành.

a) Tính $overrightarrow {AM} .overrightarrow {BM}$ theo t.

b) Tính t để $widehat {AMB} = {90^o}$

Gợi ý đáp án

Ta có: A (1; 2), B(-4; 3) và M (t; 0)

$begin{array}{l} Rightarrow overrightarrow {AM} = (t - 1; - 2),;overrightarrow {BM} = (t + 4; - 3)\ Rightarrow overrightarrow {AM} .overrightarrow {BM} = (t - 1)(t + 4) + ( - 2)( - 3)\ quad quad quad quad quad quad= {t^2} + 3t + 2. end{array}$

Để $widehat {AMB} = {90^o}$ hay $AM bot BM$ thì $overrightarrow {AM} .overrightarrow {BM} = 0$

$begin{array}{l} Leftrightarrow {t^2} + 3t + 2 = 0\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = - 1\t = - 2end{array} right.end{array}$

Vậy t = -1 hoặc t = -2 thì $widehat {AMB} = {90^o}$

Bài 4.24 trang 70

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A (-4; 1), B (2;4), C (2; -2)

a) Giải tam giác

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Gợi ý đáp án

a) Ta có:

$left{ begin{array}{l}overrightarrow {AB} = (2 - ( - 4);4 - 1) = (6;3)\overrightarrow {BC} = (2 - 2; - 2 - 4) = (0; - 6)\overrightarrow {AC} = (2 - ( - 4); - 2 - 1) = (6; - 3)end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}AB = left| {overrightarrow {AB} } right| = sqrt {{6^2} + {3^2}} = 3sqrt 5 \BC = left| {overrightarrow {BC} } right| = sqrt {{0^2} + {{( - 6)}^2}} = 6\AC = left| {overrightarrow {CA} } right| = sqrt {{6^2} + {{( - 3)}^2}} = 3sqrt 5 .end{array} right.$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

$cos widehat A = frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = frac{{{{left( {3sqrt 5 } right)}^2} + {{left( {3sqrt 5 } right)}^2} - {{left( 6 right)}^2}}}{{2.3sqrt 5 .3sqrt 5 }} = frac{3}{5} Rightarrow widehat A approx 53,{13^o}$

$cos widehat B = frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = frac{{{{left( 6 right)}^2} + {{left( {3sqrt 5 } right)}^2} - {{left( {3sqrt 5 } right)}^2}}}{{2.6.3sqrt 5 }} = frac{{sqrt 5 }}{5} Rightarrow widehat B approx 63,{435^o}$

$Rightarrow widehat C approx 63,{435^o}$

Vậy tam giác ABC có: $a = 6;b = 3sqrt 5 ;c = 3sqrt 5 ; widehat A approx 53,{13^o};widehat B = widehat C approx 63,{435^o}.$

Gọi H có tọa độ (x; y)

$Rightarrow left{ begin{array}{l}overrightarrow {AH} = (x - ( - 4);y - 1) = (x + 4;y - 1)\overrightarrow {BH} = (x - 2;y - 4)end{array} right.$

Lại có: H là trực tâm tam giác ABC

$Rightarrow AH bot BC$ và $BH bot AC$

$Rightarrow left( {overrightarrow {AH} ,overrightarrow {BC} } right) = {90^o} Leftrightarrow cos left( {overrightarrow {AH} ,overrightarrow {BC} } right) = 0$ và

$left( {overrightarrow {BH} ,overrightarrow {AC} } right) = {90^o} Leftrightarrow cos left( {overrightarrow {BH} ,overrightarrow {AC} } right) = 0$

Do đó $overrightarrow {AH} .overrightarrow {BC} = overrightarrow 0 và overrightarrow {BH} .overrightarrow {AC} = overrightarrow 0 .$

Mà: overrightarrow {BC} = (0; – 6)

$Rightarrow (x + 4).0 + (y - 1).( - 6) = 0 Leftrightarrow - 6.(y - 1) = 0 Leftrightarrow y = 1.$

Và $overrightarrow {AC} = (6; - 3)$

$begin{array}{l} Rightarrow (x - 2).6 + (y - 4).( - 3) = 0\ Leftrightarrow 6x - 12 + ( - 3).( - 3) = 0\ Leftrightarrow 6x - 3 = 0\ Leftrightarrow x = frac{1}{2}.end{array}$

Vậy H có tọa độ $left( {1;frac{1}{2}} right)$

Bài 4.25 trang 70

Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có:

${S_{ABC}} = frac{1}{2}sqrt {{{overrightarrow {AB} }^2}.{{overrightarrow {AC} }^2} - {{left( {overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} } right)}^2}} .$

Gợi ý đáp án

Đặt $A = dfrac{1}{2}sqrt {{{overrightarrow {AB} }^2}.{{overrightarrow {AC} }^2} - {{left( {overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} } right)}^2}}$

$begin{array}{l} Rightarrow A = dfrac{1}{2}sqrt {A{B^2}.A{C^2} - {{left( {AB.AC.cos A} right)}^2}} \ Leftrightarrow A = dfrac{1}{2}sqrt {A{B^2}.A{C^2}left( {1 - {{cos }^2}A} right)} end{array}$

Mà $1 - {cos ^2}A = {sin ^2}A$

$Rightarrow A = dfrac{1}{2}sqrt {A{B^2}.A{C^2}.{{sin }^2}A}$

Do đó $A = {S_{ABC}}$ hay ${S_{ABC}} = dfrac{1}{2}sqrt {{{overrightarrow {AB} }^2}.{{overrightarrow {AC} }^2} - {{left( {overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} } right)}^2}} .$ (đpcm)

Bài 4.26 trang 70

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

$M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}$

Gợi ý đáp án

Ta có:

$begin{array}{l}M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {overrightarrow {MA} ^2} + {overrightarrow {MB} ^2} + {overrightarrow {MC} ^2}\ = {left( {overrightarrow {MG} + overrightarrow {GA} } right)^2} + {left( {overrightarrow {MG} + overrightarrow {GB} } right)^2} + {left( {overrightarrow {MG} + overrightarrow {GC} } right)^2}\ = {overrightarrow {MG} ^2} + 2overrightarrow {MG} .overrightarrow {GA} + {overrightarrow {GA} ^2} + {overrightarrow {MG} ^2} + 2overrightarrow {MG} .overrightarrow {GB} + {overrightarrow {GB} ^2} + {overrightarrow {MG} ^2} + 2overrightarrow {MG} .overrightarrow {GC} + {overrightarrow {GC} ^2}\ = 3{overrightarrow {MG} ^2} + 2overrightarrow {MG} .left( {overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} } right) + {overrightarrow {GA} ^2} + {overrightarrow {GB} ^2} + {overrightarrow {GC} ^2}\ = 3{overrightarrow {MG} ^2} + 2overrightarrow {MG} .overrightarrow 0 + {overrightarrow {GA} ^2} + {overrightarrow {GB} ^2} + {overrightarrow {GC} ^2}end{array}$

(do G là trọng tâm tam giác ABC)

begin{array}{l} = 3{overrightarrow {MG} ^2} + {overrightarrow {GA} ^2} + {overrightarrow {GB} ^2} + {overrightarrow {GC} ^2}\ = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}end{array} (đpcm).

Đăng bởi: THPT Nguyễn Đình Chiểu

Chuyên mục: Tài Liệu Lớp 10