Giải Toán 9 Bài 10: Diện tích hình tròn, hình quạt tròn

thptnguyendinhchieu Tháng Sáu 22, 2024

0 6 minutes read

Giải bài tập SGK Toán 9 trang 98, 99, 100 giúp các em học sinh lớp 9 xem gợi ý giải các bài tập của Bài 10: Diện tích hình tròn, hình quạt tròn thuộc Hình học 9 Chương 3. Qua đó các em sẽ nhanh chóng hoàn thiện toàn bộ bài tập của bài 9 Chương III Hình học 9 tập 2. Chúc các em học tốt.

Table of Contents

Lý thuyết diện tích hình tròn, hình quạt tròn

1. Công thức tính diện tích hình tròn.

Bạn đang xem: Giải Toán 9 Bài 10: Diện tích hình tròn, hình quạt tròn

Diện tích S của một hình tròn bán kính R được tính theo công thức

$S = π. R^2$

2. Cách tính diện tích hình quạt tròn.

Trong hình tròn bán kính R diện tích hình quạt $n^0$ được tính theo công thức:

$S = dfrac{pi R^{2}n}{360}$ hay $S = dfrac{lpi }{2}$

(l là độ dài cung $n^0$ của hình quạt)

Giải bài tập toán 9 trang 98, 99, 100 tập 2

Bài 77 (trang 98 SGK Toán 9 Tập 2)

Tính diện tích hình tròn nội tiếp một hình vuông có cạnh là 4cm.

Gợi ý đáp án

Vẽ hình minh họa

Hình tròn nội tiếp hình vuông có cạnh 4cm thì có R = 2cm.

Vậy diện tích hình tròn là: π2² = 4π(cm²).

Bài 78 (trang 98 SGK Toán 9 Tập 2)

Chân một đống cát đổ trên một nền phẳng nằm ngang là một hình tròn có chu vi 12m. Hỏi chân đống cát đó chiếm một diện tích là bao nhiêu mét vuông?

Gợi ý đáp án

Theo giả thiết thì chu vi đường tròn chân đống cát là C = 2πR = $12mRightarrow R =dfrac{12 }{2pi } = dfrac{6 }{pi }.$

Diện tích phần mặt đất mà đống cát chiếm chỗ là:

$S = π. R^2 = π left ( dfrac{6}{pi } right )^{2} =dfrac{36}{pi } ≈ 11,5 (m^2)$

Bài 79 (trang 98 SGK Toán 9 Tập 2)

Tính diện tích một hình quạt tròn có bán kính 6cm, số đo cung là 36^o.

Gợi ý đáp án

Vẽ hình minh họa

Theo công thức $S = dfrac{pi R^{2}n^{circ}}{360^{circ}}$ ta có

$S= dfrac{pi 6^{2}.36}{360} = 3,6π (cm^2)$

Bài 80 (trang 98 SGK Toán 9 Tập 2)

Một vườn cỏ hình chữ nhật ABCD có AB = 40m, AD = 30m. Người ta muốn buộc hai con dê ở hai góc vườn A, B. Có hai cách buộc:

– Mỗi dây thừng dài 20m.

– Một dây thừng dài 30m và dây thừng kia dài 10m.

Hỏi với cách buộc nào thì diện tích cỏ mà cả hai con dê có thể ăn được sẽ lớn hơn (h.60)?

Gợi ý đáp án

Theo cách buộc thứ nhất thì diện tích cỏ dành cho mỗi con dê là bằng nhau.

Mỗi diện tích là $dfrac{1}{4}$ hình tròn bán kính 20m. Nên diện tích cỏ mỗi con dê ăn được là

$dfrac{1}{4}. π.20^2 = 100π, , ,(m^2)$

Cả hai con dê ăn được phần cỏ có diện tích là 200π m²(1)

Theo cách buộc thứ hai, thì diện tích cỏ dành cho con dê buộc ở A là

$dfrac{1}{4}. π.30^2 = dfrac{1}{4}.900π=225 pi, ,$ m²

Diện tích cỏ dành cho con dê buộc ở B là: $dfrac{1}{4}.π.10^2 = dfrac{1}{4}.100π =25 pi, , (m^2)$

Diện tích cỏ dành cho cả hai con dê là: 225π + 25π = 250π m² (2)

So sánh (1) và (2) ta thấy với cách buộc thứ hai thì diện tích cỏ mà hai con dê có thể ăn được sẽ lớn hơn.

Bài 81 (trang 98 SGK Toán 9 Tập 2)

Diện tích hình tròn sẽ thay đôi thế nào nếu:

a) Bán kính tăng gấp đôi?

Gợi ý đáp án

Diện tích hình tròn bán kính R là: $S=pi R^2.$

a) Khi bán kính tăng lên hai lần ta có bán kính mới là 2R nên diện tích hình tròn lúc này là: $S_1=π{(2R)}^2 = 4πR^2=4S.$

Vậy nếu ta gấp đôi bán kính thì diện tích hình tròn sẽ gấp bốn lần.

b) Khi bán kính tăng lên ba lần ta có ta có bán kính mới là 3R nên diện tích hình tròn lúc này là: $S_2=π{(3R)}^2 = 9 πR^2=9S$

Vậy nếu ta gấp đôi bán kính thì diện tích hình tròn sẽ gấp 9 lần.

c) Khi bán kính tăng lên k lần ta có ta có bán kính mới là kR nên diện tích hình tròn lúc này là:: $S_k=π(kR)^2 = k^2 πR^2=k^2.S$

Vậy nếu nhân bán kính với k > 0 thì diện tích hình tròn sẽ gấp $k^2$ lần.

Bài 82 (trang 98 SGK Toán 9 Tập 2)

Điền vào ô trống trong bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất):

Bán kính đường tròn (R)	Độ dài đường tròn (C)	Diện tích hình tròn (S)	Số đo của cung tròn n^o	Diện tích quạt tròn cung n^o
	13,2cm		47,5^o
2,5cm				12,5cm²
		37,8cm²		10,6cm²

Gợi ý đáp án

Điền vào ô trống:

Bán kính đường tròn (R)	Độ dài đường tròn (C)	Diện tích hình tròn (S)	Số đo của cung tròn n^o	Diện tích quạt tròn cung n^o
2,1cm	13,2cm	13,8cm²	47,5^o	1,83cm²
2,5cm	15,7cm	19,6cm²	229,3^o	12,5cm²
3,5cm	22cm	37,8cm²	99,2^o	10,6cm²

Giải bài tập toán 9 trang 99 tập 2: Luyện tập

Bài 83 (trang 99 SGK Toán 9 Tập 2)

a) Vẽ hình 62 (tạo bởi các cung tròn) với HI = 10cm và HO = BI = 2cm. Nêu cách vẽ.

b) Tính diện tích hình HOABINH (miền gạch sọc).

c) Chứng tỏ rằng hình tròn đường kính NA có cùng diện tích với hình HOABINH đó

Gợi ý đáp án

a) Cách vẽ

– Vẽ nửa đường tròn đường kính HI = 10cm, tâm M.

– Trên đường kính HI lấy điểm O và điểm B sao cho HO = BI = 2cm.

-Vẽ hai nửa đường tròn đường kính HO, BI nằm cùng phía với đường tròn (M).

– Vẽ nửa đường tròn đường kính OB nằm khác phía đối với đường tròn (M). Đường thẳng vuông góc với HI tại M cắt (M) tại N và cắt đường tròn đường kính OB tại A.

Nửa hình tròn đường kính HO và BI đều có bán kính r = 2:2 = 1cm. Hai nửa hình tròn này có diện tích bằng nhau và bằng

${S_3} = dfrac{1}{2}pi .{r^2} = dfrac{1}{2}pi ,left( {c{m^2}} right)$

Nửa hình tròn đường kính HI có bán kính R = 10:2 = 5cm và có tâm D. Nửa hình tròn này có diện tích

${S_1} = dfrac{1}{2}pi {R^2} = dfrac{1}{2}pi {.5^2} = 12,5pi ,left( {c{m^2}} right)$

Nửa hình tròn đường kính OB có tâm D và có bán kính

${r_2} = OB:2 = left( {HI - HO - BI} right):2 = left( {10 - 2 - 2} right):2 = 3cm$

Nửa hình tròn này có diện tích bằng

${S_2} = dfrac{1}{2}pi r_2^2 = dfrac{1}{2}pi {.3^2} = 4,5pi left( {c{m^2}} right)$

Phần hình bị gạch chéo tạo bởi các nửa đường tròn bán kính 5cm;3cm và 1cm.

Diện tích phần bị gạch chéo là

$S = {S_1} - 2{S_3} + {S_2} = 12,5pi - 2.dfrac{1}{2}pi + 4,5pi = 16pi left( {c{m^2}} right)$

c) Ta có DN = R = 5cm,DA = {r_2} = 3cm ⇒ NA = 5 + 3 = 8cm

Đường tròn đường kính NA có bán kính là R’ = 8:2 = 4cm

Diện tích hình tròn đường kính NA là

$S' = pi {R'^2} = pi {.4^2} = 16pi left( {c{m^2}} right)$

Vậy S = S’ (đpcm).

Bài 84 (trang 99 SGK Toán 9 Tập 2)

a) Vẽ lại hình tạo bởi các cung tròn xuất phát từ đỉnh C của tam giác đều ABC cạnh 1cm. Nêu cách vẽ (h.63).

Gợi ý đáp án

a) Vẽ tam giác đều ABC cạnh 1cm

Vẽ $dfrac{1}{3}$ đường tròn tâm A, bán kính 1cm, ta được cung $overparen{DE}$

Vẽ $dfrac{1}{3}$ đường tròn tâm B, bán kính 2cm, ta được cung $overparen{DE}$

Vẽ $dfrac{1}{3}$ đường tròn tâm C, bán kính 3cm, ta được cung $overparen{EF}$

b) Diện tích hình quạt CAD là $dfrac{1}{3} π.1^2$

Diện tích hình quạt DBE là $dfrac{1}{3} π.2^2$

Diện tích hình quạt ECF là $dfrac{1}{3} π.3^2$

Diện tích phần gạch sọc là $dfrac{1}{3}.π.1^2+ dfrac{1}{3}.π.2^2 +dfrac{1}{3}.π.3^2$

$=dfrac{1}{3} π (1^2 + 2^2 + 3^2) = dfrac{14}{3}π (cm^2)$

Bài 85 (trang 100 SGK Toán 9 Tập 2)

Hình viên phân là phần hình tròn giới hạn bởi một cung và dây căng cung ấy. Hãy tính diện tích hình viên phân AmB, biết góc ở tâm AOB = 60^o và bán kính đường tròn là 5,1cm (h.64).

Gợi ý đáp án

∆OAB là tam giác đều có cạnh bằng R = 5,1cm.

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác đều cạnh a là $displaystyle {{{a^2}sqrt 3 } over 4}$ ta có

$displaystyle {S_{Delta OBA}} ={{{R^2}sqrt 3 } over 4} (1)$

Diện tích hình quạt tròn AOB là:

$displaystyle {{pi .{R^2}{{.60}^0}} over {{{360}^0}}} = {{pi {R^2}} over 6} (2)$

Từ (1) và (2) suy ra diện tích hình viên phân là:

$displaystyle {{pi {R^2}} over 6} - {{{R^2}sqrt 3 } over 4} = {R^2}left( {{pi over 6} - {{sqrt 3 } over 4}} right)$

Thay R = 5,1 ta có Sviên phân ≈ 2,4 $(cm^2)$

Bài 86 (trang 100 SGK Toán 9 Tập 2)

Hình vành khăn là phần hình tròn giữa hai đường tròn đồng tâm (h.65).

a) Tính diện tích S của hình vành khăn theo R₁ và R₂ (giả sử R₁ > R₂).

b) Tính diện tích hình vành khăn khi R₁ = 10,5 cm, R₂ = 7,8cm.

Gợi ý đáp án

a) Diện tích hình tròn $(O;{R_1})$ là ${S_1 }= pi{R_1}^2.$

Diện tích hình tròn $(O;{R_2})$ là ${S_2 }= pi{R_2}^2.$

Diện tích hình vành khăn là:

$S = {S_1} - {S_2} = pi R_1^2 - pi R_2^2 = pi left( {R_1^2 - R_2^2} right).$

b) Thay số: $S = 3,14. (10,5^2 – 7,8^2) = 155,1, , (cm^2).$

Bài 87 (trang 100 SGK Toán 9 Tập 2)

Lấy cạnh BC của một tam giác đều làm đường kính, vẽ môt nửa đường tròn về cùng một phía với tam giác ấy đối với đường thẳng BC. Cho biết cạnh BC = a, hãy tính diện tích của hai hình viên phân được tạo thành.

Gợi ý đáp án

Vẽ hình minh họa

Gọi D,E lần lượt là giao của hai cạnh AB,AC với nửa đường tròn đường kính BC có tâm O là trung điểm BC.

Bán kính nửa đường tròn này là $R = dfrac{{BC}}{2} = dfrac{a}{2}$

Nối OE;OD. Xét tam giác OBE có $OE = OB = R = dfrac{{BC}}{2} = dfrac{a}{2}$ và widehat $B = 60^circ Rightarrow Delta OBE$ là tam giác đều cạnh $dfrac{a}{2}$

Tương tự ta có $Delta$ OCD đều cạnh $dfrac{a}{2}$

+ Diện tích hình viên phân thứ nhất là ${S_1} = {S_{qBOE}} - {S_{Delta BOE}}$

Diện tích hình quạt BOE có bán kính $R = OB = dfrac{a}{2}$ và số đo cung $BE = widehat {BOE} = 60^circ$ là

${S_{qBOE}} = dfrac{{pi {R^2}n}}{{360}} = dfrac{{pi {{left( {dfrac{a}{2}} right)}^2}.60}}{{360}} = dfrac{{pi {a^2}}}{{24}}$

Kẻ $EH bot OB$ tại H suy ra H là trung điểm của OB (vì tam giác OEB đều nên EH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến). Suy ra $OH = dfrac{{OB}}{2} = dfrac{{dfrac{a}{2}}}{2} = dfrac{a}{4}.$