Toán 10 Bài tập cuối chương IV – Chân trời sáng tạo

0 3 minutes read

Giải Toán 10 Bài tập cuối chương IV giúp các em học sinh lớp 10 tham khảo, biết cách giải các bài tập trong SGK Toán 10 Tập 1 trang 78, 79 sách Chân trời sáng tạo.

Giải SGK Toán 10 Bài tập cuối chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác sách Chân trời sáng tạo Tập 1 giúp các em học sinh nắm được cách trình bày, cách triển khai để giải được các bài tập từ bài 1 đến bài 8 trong sách giáo khoa. Từ đó các em học sinh tự bồi dưỡng và nâng cao kiến thức tự tin giải quyết tốt các bài tập. Đồng thời đây cũng là tư liệu hữu ích giúp thầy cô tham khảo để soạn giáo án cho riêng mình.

Bạn đang xem: Toán 10 Bài tập cuối chương IV – Chân trời sáng tạo

Giải Toán 10 trang 78, 79 Chân trời sáng tạo – Tập 1

Bài 1 trang 78

Cho tam giác ABC. Biết a = 49,4;b = 26,4 $;widehat C = {47^ circ }20'.$ Tính hai góc $widehat A,widehat B$ và cạnh c.

Gợi ý đáp án

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:

$begin{array}{l}{c^2} = {b^2} + {a^2} - 2abcos C\ Leftrightarrow {c^2} = 26,{4^2} + 49,{4^2} - 2.26,4.49,4cos {47^ circ }20'\ Rightarrow c approx 37end{array}$

Áp dụng định lí sin, ta có: $frac{a}{{sin A}} = frac{b}{{sin B}} = frac{c}{{sin C}}$

$begin{array}{l} Leftrightarrow frac{{49,4}}{{sin A}} = frac{{26,4}}{{sin B}} = frac{{37}}{{sin {{47}^ circ }20'}}\ Rightarrow sin A = frac{{49,4.sin {{47}^ circ }20'}}{{37}} approx 0,982 Rightarrow widehat A approx {79^ circ }\ Rightarrow widehat B approx {180^ circ } - {79^ circ } - {47^ circ }20' = {53^ circ }40'end{array}$

Bài 2 trang 78

Cho tam giác ABC. Biết a = 24,b = 13,c = 15. Tính các góc $widehat A,widehat B,widehat C.$

Gợi ý đáp án

Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta có:

$begin{array}{l}cos A = frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};cos B = frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\ Rightarrow cos A = frac{{{{13}^2} + {{15}^2} - {{24}^2}}}{{2.13.15}} = - frac{7}{{15}};cos B = frac{{{{24}^2} + {{15}^2} - {{13}^2}}}{{2.24.15}} = frac{{79}}{{90}}\ Rightarrow widehat A approx 117,{8^ circ },widehat B approx 28,{6^o}\ Rightarrow widehat C approx 33,{6^o}end{array}$

Bài 3 trang 78

Cho tam giác ABC có a = 8,b = 10,c = 13. Tính các góc A, B, C

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho tam giác ABC có a = 8,b = 10,c = 13. Tính các góc $widehat A,widehat B,widehat C.$

Gợi ý đáp án

a) Tam giác ABC có góc tù không?

Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta có:

0;\cos B = frac{{{8^2} + {{13}^2} – {{10}^2}}}{{2.8.13}} = frac{{133}}{{208}} > 0\cos C = frac{{{8^2} + {{10}^2} – {{13}^2}}}{{2.8.13}} = – frac{1}{{32}} 0;\cos B = frac{{{8^2} + {{13}^2} – {{10}^2}}}{{2.8.13}} = frac{{133}}{{208}} > 0\cos C = frac{{{8^2} + {{10}^2} – {{13}^2}}}{{2.8.13}} = – frac{1}{{32}}

{90^ circ }” width=”169″ height=”24″ data-type=”0″ data-latex=”Rightarrow widehat C approx 91,{79^ circ } > {90^ circ }” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5CRightarrow%20%5Cwidehat%20C%20%5Capprox%2091%2C%7B79%5E%20%5Ccirc%20%7D%20%3E%20%7B90%5E%20%5Ccirc%20%7D”>, tam giác ABC có góc C tù.

b) Tính độ dài trung tuyến AM, diện tích tam giác và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Gợi ý đáp án:

+) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ACM, ta có:

$begin{array}{l}A{M^2} = A{C^2} + C{M^2} - 2.AC.CM.cos C\ Leftrightarrow A{M^2} = {8^2} + {5^2} - 2.8.5.left( { - frac{1}{{32}}} right) = 91,5\ Rightarrow AM approx 9,57end{array}$

+) Ta có: $p = frac{{8 + 10 + 13}}{2} = 15,5.$

Áp dụng công thức heron, ta có:

$S = sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} = sqrt {15,5.(15,5 - 8).(15,5 - 10).(15,5 - 13)} approx 40$

+) Áp dụng định lí sin, ta có:

$frac{c}{{sin C}} = 2R Rightarrow R = frac{c}{{2sin C}} = frac{{13}}{{2.sin 91,{{79}^ circ }}} approx 6,5$

c) Lấy điểm D đối xứng với A qua C.

Ta có: $widehat {BCD} = {180^ circ } - 91,{79^ circ } = 88,{21^ circ }; CD = AC = 8$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác BCD, ta có:

$begin{array}{l}B{D^2} = C{D^2} + C{B^2} - 2.CD.CB.cos widehat {BCD}\ Leftrightarrow B{D^2} = {8^2} + {10^2} - 2.8.10.cos 88,{21^ circ } approx 159\ Rightarrow BD approx 12,6end{array}$

Bài 4 trang 79

Cho tam giác ABC có A = 120,b = 8,c = 5. Tính:

a) Cạnh a và các góc B, C

b) Diện tích tam giác ABC

c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường cao AH của tam giác.

Gợi ý đáp án

a) Cạnh a và các góc $widehat B,widehat C.$

Gợi ý đáp án:

Áp dụng định lí cosin, ta có:

$begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.cos A\ Leftrightarrow {a^2} = {8^2} + {5^2} - 2.8.5.cos {120^ circ } = 129\ Rightarrow a = sqrt {129} end{array}$

Áp dụng định lí sin, ta có:

$begin{array}{l}frac{a}{{sin A}} = frac{b}{{sin B}} = frac{c}{{sin C}} Rightarrow frac{{sqrt {129} }}{{sin {{120}^ circ }}} = frac{8}{{sin B}} = frac{5}{{sin C}}\ Rightarrow left{ begin{array}{l}sin B = frac{{8.sin {{120}^ circ }}}{{sqrt {129} }} approx 0,61\sin C = frac{{5.sin {{120}^ circ }}}{{sqrt {129} }} approx 0,38end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}widehat B approx 37,{59^ circ }\widehat C approx 22,{41^ circ }end{array} right.end{array}$

b) Diện tích tam giác ABC

Diện tích tam giác ABC là:

$S = frac{1}{2}bc.sin A = frac{1}{2}.8.5.sin {120^ circ } = 10sqrt 3$

c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường cao AH của tam giác.

Phương pháp giải:

+) Áp dụng định lí sin: $R = frac{a}{{sin A}}$

+) Đường cao AH: $AH = frac{{2S}}{a}$

+) Theo định lí sin, ta có: $R = frac{a}{{sin A}} = frac{{sqrt {129} }}{{sin {{120}^ circ }}} = 2sqrt {43}$

+) Đường cao AH của tam giác bằng: $AH = frac{{2S}}{a} = frac{{2.10sqrt 3 }}{{sqrt {129} }} = frac{{20sqrt {43} }}{{43}}$

Bài 5 trang 79

Cho hình bình hành ABCD

a) Chứng minh $2left( {A{B^2} + B{C^2}} right) = A{C^2} + B{D^2}$

b) Cho AB = 4,BC = 5,BD = 7. Tính AC.

Gợi ý đáp án

a) Áp dụng định lí cosin ta có

$left{ begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.cos B\B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 2.AB.AD.cos Aend{array} right.$

Mà $AD = BC;cos A = cos ({180^ circ } - B) = - cos B$

$begin{array}{l} Rightarrow left{ begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} + 2.AB.BC.cos A\B{D^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.AD.cos Aend{array} right.\ Rightarrow A{C^2} + B{D^2} = 2left( {A{B^2} + B{C^2}} right)end{array}$

b) Theo câu a, ta suy ra: $A{C^2} = 2left( {A{B^2} + B{C^2}} right) - B{D^2}$

$begin{array}{l} Rightarrow A{C^2} = 2left( {{4^2} + {5^2}} right) - {7^2} = 33\ Rightarrow AC = sqrt {33} end{array}$

Bài 6 trang 79

Cho tam giác ABC có a = 15,b = 20,c = 25.

a) Tính diện tích tam giác ABC

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Gợi ý đáp án

a) Ta có: $p = frac{{a + b + c}}{2} = frac{{15 + 20 + 25}}{2} = 30$

Áp dụng công thức heron, ta có: $S = sqrt {30.(30 - 15).(30 - 20).(30 - 25)} = 150$

b) Ta có: $S = frac{{abc}}{{4R}} Rightarrow R = frac{{abc}}{{4S}} = frac{{15.20.25}}{{4.150}} = 12,5.$

Bài 7 trang 79

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

$cot A + cot B + cot C = frac{{R({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{{abc}}$

Gợi ý đáp án

Áp dụng hệ quả của định lí sin và định lí cosin, ta có:

$frac{a}{{sin A}} = 2R Rightarrow sin A = frac{a}{{2R}}$

và $cos A = frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$

$Rightarrow cot A = frac{{cos A}}{{sin A}} = frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}:frac{a}{{2R}} = R.frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{abc}}$

Tương tự ta có: $cot B = R.frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{abc}} và cot C = R.frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{abc}}$

$begin{array}{l} Rightarrow cot A + cot B + cot C = frac{R}{{abc}}left[ {left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} right) + left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} right) + left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} right)} right]\ = frac{R}{{abc}}left( {2{b^2} + 2{c^2} + 2{a^2} - {a^2} - {c^2} - {b^2}} right) = frac{{R({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{{abc}}end{array}$

Bài 8 trang 79

Tính khoảng cách AB giữa hai nóc tòa cao ốc. Cho biết khoảng cách từ hai điểm đó đến một vệ tinh viễn thông lần lượt là 370 km, 350 km và góc nhìn từ vệ tinh đến A và B là $2,{1^ circ }.$