Toán 10 Bài tập cuối chương III – Kết nối tri thức với cuộc sống

thptnguyendinhchieu Tháng Sáu 23, 2024

0 4 minutes read

Giải Toán 10 Bài tập cuối chương III: Hệ thức lượng trong tam giác sách Kết nối tri thức với cuộc sống là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh lớp 10 có thêm nhiều gợi ý tham khảo, dễ dàng đối chiếu kết quả khi làm bài tập toán trang 42, 43.

Giải SGK Toán 10 Bài tập cuối chương 3 tập 1 được biên soạn chi tiết, bám sát nội dung trong sách giáo khoa. Mỗi bài toán đều được giải thích cụ thể, chi tiết. Qua đó giúp các em củng cố, khắc sâu thêm kiến thức đã học trong chương trình chính khóa; có thể tự học, tự kiểm tra được kết quả học tập của bản thân.

Bạn đang xem: Toán 10 Bài tập cuối chương III – Kết nối tri thức với cuộc sống

Table of Contents

Giải Toán 10 trang 44, 45 Kết nối tri thức tập 1

Bài 3.12 trang 44

Cho tam giác ABC có $widehat B = {135^o}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

$A. S = frac{1}{2}ca$

$B. S = frac{{ - sqrt 2 }}{4}ac$

$C. S = frac{{sqrt 2 }}{4}bc$

$D. S = frac{{sqrt 2 }}{4}ca$

Gợi ý đáp án:

Diện tích tam giác ABC: $S = frac{1}{2}ac.sin B$

Mà $widehat B = {135^o} Rightarrow sin B = sin {135^o} = frac{{sqrt 2 }}{2}.$

$Rightarrow S = frac{1}{2}ac.frac{{sqrt 2 }}{2} = frac{{sqrt 2 }}{4}.ac$

Chọn D

LG b

$A. R = frac{a}{{sin A}}$

$B. R = frac{{sqrt 2 }}{2}b$

$C. R = frac{{sqrt 2 }}{2}c$

$D. R = frac{{sqrt 2 }}{2}a$

Gợi ý đáp án:

Theo định lí sin, ta có: $frac{a}{{sin A}} = frac{b}{{sin B}} = frac{c}{{sin C}} = R$

A $A. R = frac{a}{{sin A}}$ đúng

$B. R = frac{{sqrt 2 }}{2}b$

Mà $sin B = frac{{sqrt 2 }}{2} Rightarrow R = frac{b}{{sin B}} = frac{b}{{frac{{sqrt 2 }}{2}}} = bsqrt 2$

Vậy B sai.

$C. R = frac{{sqrt 2 }}{2}c$ (Loại vì không có dữ kiện về góc C nên không thể tính R theo c.)

$D. R = frac{{sqrt 2 }}{2}a$ (Loại vì không có dữ kiện về góc A nên không thể tính R theo a.)

Chọn A

LG c

$A. {a^2} = {b^2} + {c^2} + sqrt 2 ab.$

$B. frac{b}{{sin A}} = frac{a}{{sin B}}$

$C. sin B = frac{{ - sqrt 2 }}{2}$

$D. {b^2} = {c^2} + {a^2} - 2cacos {135^o}.$

Gợi ý đáp án:

$A. {a^2} = {b^2} + {c^2} + sqrt 2 ab.$ (Loại)

Vì: Theo định lí cos ta có: ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.cos A$

Không đủ dữ kiện để suy ra ${a^2} = {b^2} + {c^2} + sqrt 2 ab.$

$B. frac{b}{{sin A}} = frac{a}{{sin B}}$ (Loại)

Theo định lí sin, ta có: $frac{a}{{sin A}} = frac{b}{{sin B}} nRightarrow frac{b}{{sin A}} = frac{a}{{sin B}}$

$C. sin B = frac{{ - sqrt 2 }}{2}$ (sai vì theo câu a, $sin B = frac{{sqrt 2 }}{2}$ )

$D. {b^2} = {c^2} + {a^2} - 2cacos {135^o}.$

Theo định lý cos ta có:

${b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca.cos B (*)$

Mà $widehat B = {135^o} Rightarrow cos B = cos {135^o}.$

Thay vào (*) ta được: ${b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca;cos {135^o}$

=> D đúng.

Chọn D

Bài 3.13 trang 44

Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

LG a

$A. S = frac{{abc}}{{4r}}$

$B. r = frac{{2S}}{{a + b + c}}$

$C. {a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc;cos A$

$D. S = r,(a + b + c)$

Gợi ý đáp án:

a) Chọn đáp án B

$A. S = frac{{abc}}{{4r}}$

Ta có: $S = frac{{abc}}{{4R}}$ . Mà r < Rnên suy ra <img alt="S = frac{{abc}}{{4R}} < frac{{abc}}{{4r}}" width="127" height="41" data-type="0" data-latex="S = frac{{abc}}{{4R}}

Vậy A sai.

$B. r = frac{{2S}}{{a + b + c}}$

Ta có: $S = pr Rightarrow r = frac{S}{p}$

Mà $p = frac{{a + b + c}}{2};; Rightarrow r = frac{S}{p}; = frac{S}{{frac{{a + b + c}}{2}}} = frac{{2S}}{{a + b + c}};$

Vậy B đúng

$C. {a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc;cos A$

Sai vì theo định lí cos ta có: ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc;cos A$

D. $S = r,(a + b + c)$

Sai vì $S = pr = r.frac{{a + b + c}}{2}$

b) Chọn đáp án A

$A. sin A = sin ,(B + C)$

Ta có: $widehat A + widehat B + widehat C = {180^o}$

$begin{array}{l} Rightarrow widehat B + widehat C = {180^o} - widehat A\ Rightarrow sin ,(B + C) = sin Aend{array}$

Vậy A đúng.

$B. cos A = cos ,(B + C)$

Sai vì $cos ,(B + C) = - cos A(Do widehat A + widehat B + widehat C = {180^o})$

0″ width=”104″ height=”17″ data-type=”0″ data-latex=”C. ;cos A > 0″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=C.%20%5C%3B%5Ccos%20A%20%3E%200″>

Không đủ dữ kiện để kết luận.

Nếu <img src="https://o.rada.vn/data/image/holder.png" alt="{0^o} < widehat A 0″ width=”210″ height=”24″ data-type=”0″ data-latex=”{0^o} < widehat A 0″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%7B0%5Eo%7D%20%3C%20%5Cwidehat%20A%20%3C%20%7B90%5Eo%7D%20th%C3%AC%20%5Ccos%20A%20%3E%200″>

Nếu <img alt="{90^o} < widehat A < {180^o}" width="127" height="21" data-type="0" data-latex="{90^o} < widehat A thì <img alt="cos A < 0" width="76" height="17" data-type="0" data-latex="cos A

$D. sin A,, le 0$

Ta có 0″ width=”151″ height=”40″ data-type=”0″ data-latex=”S = frac{1}{2}bc.sin A > 0″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=S%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dbc.%5Csin%20A%20%3E%200″>

Mà b,c > 0

0″ width=”98″ height=”17″ data-type=”0″ data-latex=”Rightarrow sin A > 0″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5CRightarrow%20%5Csin%20A%20%3E%200″>

Vậy D sai.

LG b

$A. sin A = sin ,(B + C)$

$B. cos A = cos ,(B + C)$

0″ width=”104″ height=”17″ data-type=”0″ data-latex=”C. ;cos A > 0″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=C.%20%5C%3B%5Ccos%20A%20%3E%200″>

$D. sin A,, le 0$

Gợi ý đáp án:

$A. sin A = sin ,(B + C)$

Ta có: $(widehat A + widehat C) + widehat B= {180^o}$

$Rightarrow sin ,(B + C) = sin A$

=> A đúng.

$B. cos A = cos ,(B + C)$

Sai vì $cos ,(B + C) = - cos A$

0″ width=”104″ height=”17″ data-type=”0″ data-latex=”C. ;cos A > 0″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=C.%20%5C%3B%5Ccos%20A%20%3E%200″> Không đủ dữ kiện để kết luận.

Nếu <img alt="{0^o} < widehat A < {90^o}" width="109" height="21" data-type="0" data-latex="{0^o} < widehat A thì 0″ width=”76″ height=”17″ data-type=”0″ data-latex=”cos A > 0″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5Ccos%20A%20%3E%200″>

Nếu <img alt="{90^o} < widehat A < {180^o}" width="127" height="21" data-type="0" data-latex="{90^o} < widehat A thì <img alt="cos A < 0" width="76" height="17" data-type="0" data-latex="cos A

$D. sin A,, le 0$

Ta có 0.” width=”156″ height=”40″ data-type=”0″ data-latex=”S = frac{1}{2}bc.sin A > 0.” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=S%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dbc.%5Csin%20A%20%3E%200.”> Mà b,c > 0

0″ width=”98″ height=”17″ data-type=”0″ data-latex=”Rightarrow sin A > 0″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5CRightarrow%20%5Csin%20A%20%3E%200″>

=> D sai.

Chọn A

Bài 3.14 trang 44

Tính giá trị của các biểu thức sau:

$a) M = sin {45^o}.cos {45^o} + sin {30^o}$

$b) N = sin {60^o}.cos {30^o} + frac{1}{2}.sin {45^o}.cos {45^o}$

$c) P = 1 + {tan ^2}{60^o}$

$d) Q = frac{1}{{{{sin }^2}{{120}^o}}} - {cot ^2}{120^o}.$

Gợi ý đáp án

$a) M = sin {45^o}.cos {45^o} + sin {30^o}$

Ta có: $left{ begin{array}{l}sin {45^o} = cos {45^o} = frac{{sqrt 2 }}{2};;\sin {30^o} = frac{1}{2}end{array} right.$

Thay vào M, ta được: $M = frac{{sqrt 2 }}{2}.frac{{sqrt 2 }}{2} + frac{1}{2} = frac{2}{4} + frac{1}{2} = 1$

$b) N = sin {60^o}.cos {30^o} + frac{1}{2}.sin {45^o}.cos {45^o}$

Ta có: $sin {60^o} = frac{{sqrt 3 }}{2};;;cos {30^o} = frac{{sqrt 3 }}{2};;sin {45^o} = frac{{sqrt 2 }}{2};, cos {45^o}= frac{{sqrt 2 }}{2}$

Thay vào N, ta được: $N = frac{{sqrt 3 }}{2}.frac{{sqrt 3 }}{2} + frac{1}{2}.frac{{sqrt 2 }}{2}.frac{{sqrt 2 }}{2} = frac{3}{4} + frac{1}{4} = 1$

$c) P = 1 + {tan ^2}{60^o}$

Ta có: $tan {60^o} = sqrt 3$

Thay vào P, ta được: $Q = 1 + {left( {sqrt 3 } right)^2} = 4.$

d) $Q = frac{1}{{{{sin }^2}{{120}^o}}} - {cot ^2}{120^o}.$

Ta có: $sin {120^o} = frac{{sqrt 3 }}{2};;;cot {120^o} = frac{{ - 1}}{{sqrt 3 }}$

Thay vào P, ta được: $Q = frac{1}{{{{left( {frac{{sqrt 3 }}{2}} right)}^2}}} - ;{left( {frac{{ - 1}}{{sqrt 3 }}} right)^2} = frac{1}{{frac{3}{4}}} - ;frac{1}{3} = ;frac{4}{3} - ;frac{1}{3} = 1.$

Bài 3.15 trang 44

Cho tam giác ABC có $widehat B = {60^o},;,widehat C = {45^o},AC = 10. Tính a,R,S,r.$

Gợi ý đáp án

Theo định lí sin: $frac{a}{{sin A}} = frac{b}{{sin B}} = frac{c}{{sin C}} = R$

+) Ta có: $R = frac{b}{{sin B}}$

Mà $b = AC = 10,;;widehat B = {60^o}$

$Rightarrow R = frac{{10}}{{sin {{60}^o}}} = frac{{10}}{{frac{{sqrt 3 }}{2}}} = frac{{20}}{{sqrt 3 }} = frac{{20sqrt 3 }}{3}.$

+) Mặt khác: $R = frac{a}{{sin A}} Rightarrow a = R.sin A$

Mà $R = frac{{20sqrt 3 }}{3},;widehat A = {180^o} - left( {widehat B + ;widehat C} right) = {180^o} - left( {{{60}^o} + {{45}^o}} right) = {75^o}$

$Rightarrow a = frac{{20sqrt 3 }}{3}.sin {75^o} approx 11,154$

+) Diện tích tam giác ABC là: $S = frac{1}{2}ab.sin ,widehat C approx frac{1}{2}.11,154.10.sin {60^o} approx 48,3$

+) Lại có: $R = frac{c}{{sin C}}$

$Rightarrow c = frac{{20sqrt 3 }}{3}.sin {45^o} = frac{{10sqrt 6 }}{3} approx 8,165$

$Rightarrow p = frac{{a + b + c}}{2} approx frac{{11,154 + 10 + 8,165}}{2} approx 14,66$

$Rightarrow r = frac{S}{p} approx frac{{48,3}}{{14,66}} approx 3,3$

Bài 3.16 trang 44

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng:

$a) cos widehat {AMB} + cos widehat {AMC} = 0$

b) $M{A^2} + M{B^2} - A{B^2} = 2.MA.MB.cos widehat {AMB}$

và $M{A^2} + M{C^2} - A{C^2} = 2.MA.MC.cos widehat {AMC}$

$c) M{A^2} = frac{{2left( {A{B^2} + A{C^2}} right) - B{C^2}}}{4}$ (công thức đường trung tuyến).

Gợi ý đáp án

a) Ta có: $widehat {AMB} + widehat {AMC} = {180^o}$

$Rightarrow cos widehat {AMB} = - cos widehat {AMC}$

Hay $cos widehat {AMB} + cos widehat {AMC} = 0$

b) Áp dụng định lí cos trong tam giác AMB ta có:

$begin{array}{l}A{B^2} = M{A^2} + M{B^2} - 2MA.MB;cos widehat {AMB}\ Leftrightarrow M{A^2} + M{B^2} - A{B^2} = 2MA.MB;cos widehat {AMB};;(1)end{array}$

Tương tự, Áp dụng định lí cos trong tam giác AMB ta được:

$begin{array}{l}A{C^2} = M{A^2} + M{C^2} - 2MA.MC;cos widehat {AMC}\ Leftrightarrow M{A^2} + M{C^2} - A{C^2} = 2MA.MC;cos widehat {AMC};;(2)end{array}$

c) Từ (1), suy ra $M{A^2} = A{B^2} - M{B^2} + 2MA.MB;cos widehat {AMB};$

Từ (2), suy ra $M{A^2} = A{C^2} - M{C^2} + 2MA.MC;cos widehat {AMC};$

Cộng vế với vế ta được:

$2M{A^2} = left( {A{B^2} - M{B^2} + 2MA.MB;cos widehat {AMB}} right); + left( {A{C^2} - M{C^2} + 2MA.MC;cos widehat {AMC}} right);$

$Leftrightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} - M{B^2} - M{C^2} + 2MA.MB;cos widehat {AMB} + 2MA.MC;cos widehat {AMC}$

Mà: $MB = MC = frac{{BC}}{2}$ (do AM là trung tuyến)

$Rightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} - {left( {frac{{BC}}{2}} right)^2} - {left( {frac{{BC}}{2}} right)^2} + 2MA.MB;cos widehat {AMB} + 2MA.MB;cos widehat {AMC}$

$Leftrightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.{left( {frac{{BC}}{2}} right)^2} + 2MA.MB;left( {cos widehat {AMB} + ;cos widehat {AMC}} right)$

$Leftrightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} - {frac{{BC}}{2}^2}$

$begin{array}{l} Leftrightarrow M{A^2} = frac{{A{B^2} + A{C^2} - {{frac{{BC}}{2}}^2}}}{2}\ Leftrightarrow M{A^2} = frac{{2left( {A{B^2} + A{C^2}} right) - B{C^2}}}{4}end{array}$ (đpcm)

Bài 3.17 trang 44

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) Nếu góc A nhọn thì {a^2}” width=”99″ height=”20″ data-type=”0″ data-latex=”{b^2} + {c^2} > {a^2}” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%7Bb%5E2%7D%20%2B%20%7Bc%5E2%7D%20%3E%20%7Ba%5E2%7D”>

b) Nếu góc A tù thì <img alt="{b^2} + {c^2} < {a^2}" width="99" height="20" data-type="0" data-latex="{b^2} + {c^2}

c) Nếu góc A vuông thì ${b^2} + {c^2} = {a^2}$

Gợi ý đáp án

Theo định lí cos ta có: ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc;cos A$

$Rightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = 2bc;cos A(1)$

a) Nếu góc A nhọn thì 0″ width=”76″ height=”17″ data-type=”0″ data-latex=”cos A > 0″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5Ccos%20A%20%3E%200″>

Từ (1), suy ra {a^2}” width=”99″ height=”20″ data-type=”0″ data-latex=”{b^2} + {c^2} > {a^2}” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%7Bb%5E2%7D%20%2B%20%7Bc%5E2%7D%20%3E%20%7Ba%5E2%7D”>

b) Nếu góc A tù thì <img alt="cos A < 0" width="76" height="17" data-type="0" data-latex="cos A

Từ (1), suy ra <img alt="{b^2} + {c^2} < {a^2}" width="99" height="20" data-type="0" data-latex="{b^2} + {c^2}

c) Nếu góc A vuông thì $cos A = 0$