Toán 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

0 4 minutes read

Giải Toán 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác sách Kết nối tri thức với cuộc sống là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh lớp 10 có thêm nhiều gợi ý tham khảo, dễ dàng đối chiếu kết quả khi làm bài tập toán trang 42, 43.

Giải SGK Toán 10 Bài 6 trang 42, 43 tập 1 được biên soạn chi tiết, bám sát nội dung trong sách giáo khoa. Mỗi bài toán đều được giải thích cụ thể, chi tiết. Qua đó giúp các em củng cố, khắc sâu thêm kiến thức đã học trong chương trình chính khóa; có thể tự học, tự kiểm tra được kết quả học tập của bản thân. Vậy sau đây là Giải SGK Toán 10 Hệ thức lượng trong tam giác trang 42, 43, mời các bạn cùng theo dõi.

Bạn đang xem: Toán 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Giải Toán 10 Kết nối tri thức trang 42, 43 Tập 1

Bài 3.5 trang 42

Cho tam giác ABC có a = 6, b = 5, c =8. Tính cos A, S,r.

Gợi ý đáp án

Từ định lí cosin ta suy ra $cos A = frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = frac{{{5^2} + {8^2} - {6^2}}}{{2.5.8}} = frac{{53}}{{80}}$

Tam giác ABC có nửa chu vi là:

$p = frac{{a + b + c}}{2} = frac{{6 + 5 + 8}}{2} = 9,5.$

Theo công thức Herong ta có:

$S = sqrt {pleft( {p - a} right)left( {p - b} right)left( {p - c} right)} = sqrt {9,5.left( {9,5 - 6} right).left( {9,5 - 5} right).left( {9,5 - 8} right)} approx 14,98$

Lại có: $S = pr Rightarrow r = frac{S}{p} = frac{{14,98}}{{9,5}} = 1,577.$

Vậy $cos A = frac{{53}}{{80}}; S approx 14,98 và r = 1,577.$

Bài 3.6 trang 42

Cho tam giác ABC có $a = 10,widehat A = {45^o},widehat B = {70^o}.$ Tính R,b,c.

Gợi ý đáp án

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$dfrac{a}{{sin A}} = dfrac{b}{{sin B}} = dfrac{c}{{sin C}} = 2R$

$Rightarrow R = dfrac{a}{{2sin A}};;;b = dfrac{{a.sin B}}{{sin A}}$

Mà $a = 10,widehat A = {45^o},widehat B = {70^o}$

$Rightarrow R = dfrac{{10}}{{2sin {{45}^o}}} = 5sqrt 2 ;;;b = dfrac{{a.sin {{70}^o}}}{{sin {{45}^o}}} approx 13,29$

Mặt khác: $widehat A = {45^o},widehat B = {70^o} Rightarrow widehat C = {65^o}$

Từ định lí sin ta suy ra: $c = dfrac{{a.sin C}}{{sin A}} = dfrac{{10.sin {{65}^o}}}{{sin {{45}^o}}} approx 12,82.$

Vậy $R = 5sqrt 2 ;;;b approx 13,29; c approx 12,82$ .

Bài 3.7 trang 42

Giải tam giác ABC và tính diện tích của tam giác đó, biết $widehat A = {15^o},;widehat B = {130^o},;c = 6.$

Gợi ý đáp án

Ta có: $widehat A = {15^o},;widehat B = {130^o} Rightarrow widehat C = {35^o}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$widehat A = {15^o},;widehat B = {130^o} Rightarrow widehat C = {35^o}$

$Rightarrow b = dfrac{{c.sin B}}{{sin C}};;;a = dfrac{{c.sin A}}{{sin C}}$

Mà $widehat A = {15^o},;widehat B = {130^o},;widehat C = {35^o},c = 6$

$Rightarrow b = dfrac{{6.sin {{130}^o}}}{{sin {{35}^o}}} approx 8;;;a = dfrac{{6.sin {{15}^o}}}{{sin {{35}^o}}} approx 2,7$

Diện tích tam giác ABC là

$S = dfrac{1}{2}bc.sin A = dfrac{1}{2}.8.6.sin {15^o} approx 6,212.$

Vậy $a approx 2,7;;,b approx 8; widehat C = {35^o}; S approx 6,212.$

Bài 3.8 trang 42

Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, đi theo hướng S{70^o}E với vận tốc 70 km/h. Đi được 90 phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam với vận tốc 8 km/h. Sau 2 giờ kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo.

a) Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

Gợi ý đáp án

Ta có sơ đồ đường đi như sau:

Trong đó: B là nơi động cơ bị hỏng, C là ví trí neo đậu của tàu trên hòn đảo.

Khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là đoạn AC (hay b).

Ban đầu tàu di chuyển theo hướng $S{70^o}E$ nên $widehat {BAS} = {70^o}$ . Sau khi động cơ bị hỏng, tàu trôi theo hướng Nam do đó BC song song với AS.

$Rightarrow widehat {ABC} = {180^o} - widehat {BAS} = {110^o}$

Quãng đường tàu đi được sau 90 phút hay 1,5 giờ (ngay trước khi hỏng động cơ) là:

70.1,5 = 105 (km) hay c = 105.

Quãng đường tàu trôi tự do là:

8.2 = 16 (km) hay a = 16.

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:

${b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.cos B$

$begin{array}{l} Rightarrow {b^2} = {16^2} + {105^2} - 2.16.105.cos {110^o} approx 12150,632\ Rightarrow b approx 110,23.end{array}$

Vậy khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là khoảng 110,23 km.

b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

Theo sơ đồ, hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là $S{alpha ^o}E với {alpha ^o} = widehat {CAS}.$

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

$frac{a}{{sin A}} = frac{b}{{sin B}} = frac{c}{{sin C}} Rightarrow sin A = frac{{a.sin B}}{b}$

Mà $widehat B = {110^o}; b approx 110,23; a = 16.$

<img alt="begin{array}{l} Rightarrow sin A = frac{{16.sin {{110}^o}}}{{110,23}} approx 0,136\ Rightarrow widehat A approx 7,{84^o}(do;widehat A < {90^o})end{array}" width="236" height="61" data-type="0" data-latex="begin{array}{l} Rightarrow sin A = frac{{16.sin {{110}^o}}}{{110,23}} approx 0,136\ Rightarrow widehat A approx 7,{84^o}(do;widehat A

$Rightarrow {alpha ^o} approx {70^o} - 7,{84^o} = 62,{16^o}.$

Vậy hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là $S62,{16^o}E.$

Bài 3.9 trang 43

Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao 5m. Từ một vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten, với các góc tương ứng là ${50^o}$ và ${40^o}$ so với phương nằm ngang (H.3.18).

a) Tính các góc của tam giác ABC.

b) Tính chiều cao của tòa nhà.

Gợi ý đáp án

a) Tính các góc của tam giác ABC.

Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BC.

Ta có: $widehat {HAB} = {50^o}; widehat {HAC} = {40^o}$

$Rightarrow widehat {BAC} = {50^o} - {40^o} = {10^o} (1)$

Xét tam giác ABH, vuông tại H ta có:

$widehat H = {90^o};;widehat {BAH} = {50^o}.$

$Rightarrow widehat {HBA} = {180^o} - {90^o} - {50^o} = {40^o} hay widehat {CBA} = {40^o}. (2)$

Từ (1) và (2), suy ra: $widehat {BCA} = {180^o} - {40^o} - {10^o} = {130^o}.$

Vậy ba góc của tam giác ABC lần lượt là: $widehat A = {10^o};;widehat B = {40^o};;widehat C = {130^o}.$

b) Tính chiều cao của tòa nhà.

Áp dụng định lý sin cho tam giác ABC, ta được:

$frac{{BC}}{{sin A}} = frac{{AC}}{{sin B}} = frac{{AB}}{{sin C}} Rightarrow AB = frac{{BC.sin C}}{{sin A}}$

Mà: $frac{{BC}}{{sin A}} = frac{{AC}}{{sin B}} = frac{{AB}}{{sin C}} Rightarrow AB = frac{{BC.sin C}}{{sin A}}$

$Rightarrow AB = frac{{5.sin {{130}^o}}}{{sin {{10}^o}}} approx 22;(m)$

Xét tam giác ABH, vuông tại H ta có:

$sin widehat {BAH} = frac{{BH}}{{AB}} Rightarrow BH = AB.,,sin widehat {BAH}$

Mà: $AB approx 22;(m);;;widehat {BAH} = {50^o}$

$Rightarrow BH approx 22.sin {50^o} approx 16,85;(m)$

Vậy chiều cao của tòa nhà là: $BH-{rm{ }}BC + 7 = 16,85-5 + 7 = 18,85{rm{ }}left( m right)$

Bài 3.10 trang 43

Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình, ta có thể ngắm được Đảo Yến. Hãy đề xuất một các xác định bề rộng của hòn đảo (theo chiều ta ngắm được).

Gợi ý đáp án

Bước 1:

Đánh dấu vị trí quan sát tại điểm A, chiều rộng của hòn đảo kí hiệu là đoạn BC.

Gọi H là hình chiếu của A trên BC.

Trên tia đối của tia AH, lấy điểm M, ghi lại khoảng cách AM = a.

Bước 2:

Tại A, quan sát để xác định các góc $widehat {BAC} = alpha ,;widehat {HAC} = beta .$

Tiếp tục quan sát tại M, xác định góc $widehat {HMC} = gamma .$

Bước 3: Giải tam giác AMC, tính AC.

$AM = a, widehat {AMC} = widehat {HMC} = gamma và widehat {MAC} = {180^o} - beta$

$Rightarrow widehat {ACM} = {180^o} - gamma - left( {{{180}^o} - beta } right) = beta - gamma$

Áp dụng định định lí sin trong tam giác AMC ta có:

$frac{{AC}}{{sin AMC}} = frac{{AM}}{{sin ACM}} Rightarrow AC = sin gamma .frac{a}{{sin left( {beta - gamma } right)}}$

Bước 4:

$widehat {ABC} = {90^o} - widehat {HAB} = {90^o} - (alpha - beta )$

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

$frac{{BC}}{{sin A}} = frac{{AC}}{{sin B}} Rightarrow BC = sin alpha .frac{{sin gamma .frac{a}{{sin left( {beta - gamma } right)}}}}{{sin left( {{{90}^o} - (alpha - beta )} right)}}..$

Bài 3.11 trang 43

Để tránh núi, giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19. Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định làm đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ A tới D. Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ?

Gợi ý đáp án

Bước 1:

Áp dụng định lí cos trong tam giác ABC ta có:

$begin{array}{l}A{C^2} = {6^2} + {8^2} - 2.6.8.cos {105^o}\ Rightarrow AC approx 11,2;(km)end{array}$

Bước 2:

Lại có: Theo định lí sin thì

$begin{array}{l}frac{{AB}}{{sin ACB}} = frac{{AC}}{{sin ABC}} Rightarrow sin ACB = frac{{8.sin {{105}^o}}}{{11,2}}\ Rightarrow widehat {ACB} approx 43,{6^o}\ Rightarrow widehat {ACD} = {135^o} - 43,{6^o} = 91,{4^o}end{array}$