Toán 10 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 độ

thptnguyendinhchieu Tháng Sáu 24, 2022

0 1 phút đọc

Giải Toán 10 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 độ sách Kết nối tri thức với cuộc sống là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh lớp 10 có thêm nhiều gợi ý tham khảo, dễ dàng đối chiếu kết quả khi làm bài tập toán trang 37.

Giải SGK Toán 10 Bài 5 trang 37 tập 1 được biên soạn chi tiết, bám sát nội dung trong sách giáo khoa. Mỗi bài toán đều được giải thích cụ thể, chi tiết. Qua đó giúp các em củng cố, khắc sâu thêm kiến thức đã học trong chương trình chính khóa; có thể tự học, tự kiểm tra được kết quả học tập của bản thân.

Bạn đang xem: Toán 10 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 độ

Giải Toán 10 Kết nối tri thức trang 37 Tập 1

Bài 3.1 trang 37

Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

$a) left( {2sin {{30}^o} + cos {{135}^o} - 3tan {{150}^o}} right).left( {cos {{180}^o} - cot {{60}^o}} right)$

$b) {sin ^2}{90^o} + {cos ^2}{120^o} + {cos ^2}{0^o} - {tan ^2}60 + {cot ^2}{135^o}$

$c) cos {60^o}.sin {30^o} + {cos ^2}{30^o}$

Gợi ý đáp án

$a) left( {2sin {{30}^o} + cos {{135}^o} - 3tan {{150}^o}} right).left( {cos {{180}^o} - cot {{60}^o}} right)$

Đặt $A = left( {2sin {{30}^o} + cos {{135}^o} - 3tan {{150}^o}} right).left( {cos {{180}^o} - cot {{60}^o}} right)$

Ta có: $left{ begin{array}{l}cos {135^o} = - cos {45^o};cos {180^o} = - cos {0^o}\tan {150^o} = - tan {30^o}end{array} right.$

$Rightarrow A = left( {2sin {{30}^o} - cos {{45}^o} + 3tan {{30}^o}} right).left( { - cos {0^o} - cot {{60}^o}} right)$

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$left{ begin{array}{l}sin {30^o} = frac{1}{2};tan {30^o} = frac{{sqrt 3 }}{3}\cos {45^o} = frac{{sqrt 2 }}{2};cos {0^o} = 1;cot {60^o} = frac{{sqrt 3 }}{3}end{array} right.$

$Rightarrow A = left( {2.frac{1}{2} - frac{{sqrt 2 }}{2} + 3.frac{{sqrt 3 }}{3}} right).left( { - 1 - frac{{sqrt 3 }}{3}} right)$

$begin{array}{l} Leftrightarrow A = - left( {1 - frac{{sqrt 2 }}{2} + sqrt 3 } right).left( {1 + frac{{sqrt 3 }}{3}} right)\ Leftrightarrow A = - frac{{2 - sqrt 2 + 2sqrt 3 }}{2}.frac{{3 + sqrt 3 }}{3}\ Leftrightarrow A = - frac{{left( {2 - sqrt 2 + 2sqrt 3 } right)left( {3 + sqrt 3 } right)}}{6}\ Leftrightarrow A = - frac{{6 + 2sqrt 3 - 3sqrt 2 - sqrt 6 + 6sqrt 3 + 6}}{6}\ Leftrightarrow A = - frac{{12 + 8sqrt 3 - 3sqrt 2 - sqrt 6 }}{6}.end{array}$

$b) {sin ^2}{90^o} + {cos ^2}{120^o} + {cos ^2}{0^o} - {tan ^2}60 + {cot ^2}{135^o}$

Đặt $B = {sin ^2}{90^o} + {cos ^2}{120^o} + {cos ^2}{0^o} - {tan ^2}60 + {cot ^2}{135^o}$

Ta có: $left{ begin{array}{l}cos {120^o} = - cos {60^o}\cot {135^o} = - cot {45^o}end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}{cos ^2}{120^o} = {cos ^2}{60^o}\{cot ^2}{135^o} = {cot ^2}{45^o}end{array} right.$

$Rightarrow B = {sin ^2}{90^o} + {cos ^2}{60^o} + {cos ^2}{0^o} - {tan ^2}60 + {cot ^2}{45^o}$

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$left{ begin{array}{l}cos {0^o} = 1;;;cot {45^o} = 1;;;cos {60^o} = frac{1}{2}\tan {60^o} = sqrt 3 ;;;sin {90^o} = 1end{array} right.$

$Rightarrow B = {1^2} + {left( {frac{1}{2}} right)^2} + {1^2} - {left( {sqrt 3 } right)^2} + {1^2}$

$Leftrightarrow B = 1 + frac{1}{4} + 1 - 3 + 1 = frac{1}{4}.$

$c) cos {60^o}.sin {30^o} + {cos ^2}{30^o}$

Đặt $C = cos {60^o}.sin {30^o} + {cos ^2}{30^o}$

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$sin {30^o} = frac{1}{2};;;cos {30^o} = frac{{sqrt 3 }}{2};;cos {60^o} = frac{1}{2};$

$Rightarrow C = frac{1}{2}.frac{1}{2} + {left( {;frac{{sqrt 3 }}{2}} right)^2} = frac{1}{4} + frac{3}{4} = 1.$

Bài 3.2 trang 37

$a) sin {100^o} + sin {80^o} + cos {16^o} + cos {164^o};$

b) $2sin left( {{{180}^o} - alpha } right).cot alpha - cos left( {{{180}^o} - alpha } right).tan alpha .cot left( {{{180}^o} - alpha } right) với {0^o} < alpha < {90^o}.$

Gợi ý đáp án:

$a) sin {100^o} + sin {80^o} + cos {16^o} + cos {164^o};$

Ta có: $left{ begin{array}{l}sin {100^o} = sin left( {{{180}^o} - {{80}^o}} right) = sin {80^o}\cos {164^o} = cos left( {{{180}^o} - {{16}^o}} right) = - cos {16^o}end{array} right.$

$Rightarrow sin {100^o} + sin {80^o} + cos {16^o} + cos {164^o} = sin {80^o} + sin {80^o} + cos {16^o} - cos {16^o} = 2sin {80^o}.$

b) $2sin left( {{{180}^o} - alpha } right).cot alpha - cos left( {{{180}^o} - alpha } right).tan alpha .cot left( {{{180}^o} - alpha } right) với {0^o} < alpha < {90^o}.$

Gợi ý đáp án:

Ta có:

$left{ begin{array}{l}sin left( {{{180}^o} - alpha } right) = sin alpha \cos left( {{{180}^o} - alpha } right) = - cos alpha \tan left( {{{180}^o} - alpha } right) = - tan alpha \cot left( {{{180}^o} - alpha } right) = - cot alpha end{array} right.$

$= 2sin alpha .frac{{cos alpha }}{{sin alpha }} - cos alpha .left( {tan alpha .cot alpha } right) = 2cos alpha - cos alpha = cos alpha .$

Bài 3.3 trang 37

Chứng minh các hệ thức sau:

$a) {sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1.$

$b) 1 + {tan ^2}alpha = frac{1}{{{{cos }^2}alpha }}quad (alpha ne {90^o})$

$c) 1 + {cot ^2}alpha = frac{1}{{{{sin }^2}alpha }}quad ({0^o} < alpha < {180^o})$

Gợi ý đáp án:

$a) {sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1.$

Gọi M(x;y) là điểm trên đường tròn đơn vị sao cho $widehat {xOM} = alpha$ . Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Ta có: $left{ begin{array}{l}x = cos alpha \y = sin alpha end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}{cos ^2}alpha = {x^2}\{sin ^2}alpha = {y^2}end{array} right.(1)$

Mà $left{ begin{array}{l}left| x right| = ON\left| y right| = OP = MNend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}{x^2} = {left| x right|^2} = O{N^2}\{y^2} = {left| y right|^2} = M{N^2}end{array} right.(2)$

Từ (1) và (2) suy ra ${sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = O{N^2} + M{N^2} = O{M^2}$ (do $Delta$ OMN vuông tại N)

$Rightarrow {sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1$ (vì OM =1). (đpcm)

$b) 1 + {tan ^2}alpha = frac{1}{{{{cos }^2}alpha }}quad (alpha ne {90^o})$

Ta có: $tan alpha = frac{{sin alpha }}{{cos alpha }};;(alpha ne {90^o})$

$Rightarrow 1 + {tan ^2}alpha = 1 + frac{{{{sin }^2}alpha }}{{{{cos }^2}alpha }} = frac{{{{cos }^2}alpha }}{{{{cos }^2}alpha }} + frac{{{{sin }^2}alpha }}{{{{cos }^2}alpha }} = frac{{{{sin }^2}alpha + {{cos }^2}alpha }}{{{{cos }^2}alpha }}$

Mà theo ý a) ta có ${sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1$ với mọi góc $alpha$

$Rightarrow 1 + {tan ^2}alpha = frac{1}{{{{cos }^2}alpha }} (đpcm)$

c) $1 + {cot ^2}alpha = frac{1}{{{{sin }^2}alpha }}quad ({0^o} < alpha < {180^o})$

Ta có: $cot alpha = frac{{cos alpha }}{{sin alpha }};;;({0^o} < alpha < {180^o})$

$Rightarrow 1 + {cot ^2}alpha = 1 + frac{{{{cos }^2}alpha }}{{{{sin }^2}alpha }} = frac{{{{sin }^2}alpha }}{{{{sin }^2}alpha }} + frac{{{{cos }^2}alpha }}{{{{sin }^2}alpha }} = frac{{{{sin }^2}alpha + {{cos }^2}alpha }}{{{{sin }^2}alpha }}$

Mà theo ý a) ta có ${sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1$ với mọi góc $alpha$

$Rightarrow 1 + {cot ^2}alpha = frac{1}{{{{sin }^2}alpha }} (đpcm)$

Bài 3.4 trang 37

Cho góc $alpha ;;({0^o} < alpha < {180^o})$ thỏa mãn $tan alpha = 3$

Tính giá trị biểu thức: $P = frac{{2sin alpha - 3cos alpha }}{{3sin alpha + 2cos alpha }}$

Gợi ý đáp án

Vì $tan alpha = 3 nên cos alpha ne 0$

$begin{array}{l} Rightarrow P = dfrac{{frac{{2sin alpha - 3cos alpha }}{{cos alpha }}}}{{frac{{3sin alpha + 2cos alpha }}{{cos alpha }}}} = dfrac{{2frac{{sin alpha }}{{cos alpha }} - 3}}{{3frac{{sin alpha }}{{cos alpha }} + 2}}\ Leftrightarrow P = dfrac{{2tan alpha - 3}}{{3tan alpha + 2}} = dfrac{{2.3 - 3}}{{3.3 + 2}} = dfrac{3}{{11}}. end{array}$