Toán 10 Bài 2: Hàm số bậc hai

thptnguyendinhchieu Tháng sáu 23, 2024

0 6 minutes read

Giải Toán 10 Bài 2: Hàm số bậc hai giúp các em học sinh lớp 10 tham khảo, biết cách giải các bài tập trong SGK Toán 10 Tập 1 chương 3 trang 56, 57 sách Chân trời sáng tạo.

Giải SGK Toán 10 chương 3 bài 2 sách Chân trời sáng tạo Tập 1 giúp các em học sinh nắm được cách trình bày, cách triển khai để giải được các bài tập trong sách giáo khoa. Từ đó các em học sinh tự bồi dưỡng và nâng cao kiến thức tự tin giải quyết tốt các bài tập. Đồng thời đây cũng là tư liệu hữu ích giúp thầy cô tham khảo để soạn giáo án cho riêng mình.

Bạn đang xem: Toán 10 Bài 2: Hàm số bậc hai

Table of Contents

Giải Toán 10 trang 56, 57 Chân trời sáng tạo – Tập 1

Bài 1 trang 56

Hàm số nào sau đây là hàm số bậc hai?

a) $y = 9{x^2} + 5x + 4$

$b) y = 3{x^3} + 2x + 1$

$c) y = - 4{(x + 2)^2} + 2(2{x^3} + 1) + x + 4$

$d) y = 5{x^2} + sqrt x + 2$

Gợi ý đáp án

Hàm số ở câu a) $y = 9{x^2} + 5x + 4$ là hàm số bậc hai với a = 9,b = 5,c = 4

Hàm số ở câu b), c) không phải là hàm số bậc hai vì chứa ${x^3}$

Hàm số ở câu d) $y = 5{x^2} + sqrt x + 2$ không phải là hàm số bậc hai vì chứa $sqrt x$

Bài 2 trang 56

Tìm điều kiện của m để mỗi hàm số sau là hàm số bậc hai:

$a) y = m{x^4} + (m + 1){x^2} + x + 3$

$b) y = (m - 2){x^3} + (m - 1){x^2} + 5$

Gợi ý đáp án

a) Để hàm số $y = m{x^4} + (m + 1){x^2} + x + 3$ là hàm số bậc hai thì:

$left{ begin{array}{l}m = 0\m + 1 ne 0end{array} right.$ tức là m = 0.

Khi đó $y = {x^2} + x + 3$

Vây m = 0 thì hàm số đã cho là hàm số bậc hai $y = {x^2} + x + 3$

b) Để hàm số $y = (m - 2){x^3} + (m - 1){x^2} + 5$ là hàm số bậc hai thì:

$left{ begin{array}{l}m - 2 = 0\m - 1 ne 0end{array} right.$ tức là m = 2.

Khi đó $y = (2 - 1){x^2} + 5 = {x^2} + 5$

Vây m = 2 thì hàm số đã cho là hàm số bậc hai $y = {x^2} + 5$

Bài 3 trang 56

Lập bảng biến thiên của hàm số $y = {x^2} + 2x + 3$ . Hàm số này có giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị đó.

Gợi ý đáp án

Đỉnh S có tọa độ: ${x_S} = dfrac{{ - b}}{{2a}} = dfrac{{ - 2}}{{2.1}} = - 1;,{y_S} = {left( { - 1} right)^2} + 2.( - 1) + 3 = 2.$

Hay $Sleft( { - 1;2} right).$

Vì hàm số bậc hai có a = 1 > 0 nên ta có bảng biến thiên sau:

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2.

Bài 4 trang 56

Cho hàm số bậc hai $y = f(x) = a{x^2} + bx + c có f(0) = 1,f(1) = 2,f(2) = 5$ .

a) Hãy xác định giá trị của các hệ số a,b và c.

b) Xác định tập giá trị và khoảng biến thiên của hàm số.

Gợi ý đáp án

a) Ta có: $f(0) = a{.0^2} + b.0 + c = 1 Rightarrow c = 1.$

Lại có:

$f(1) = a{.1^2} + b.1 + c = 2 Rightarrow a + b + 1 = 2$

$f(2) = a{.2^2} + b.2 + c = 5 Rightarrow 4a + 2b + 1 = 5$

Từ đó ta có hệ phương trình $left{ begin{array}{l}a + b + 1 = 2\4a + 2b + 1 = 5end{array} right.$

$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a + b = 1\4a + 2b = 4end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a = 1\b = 0end{array} right.(thỏa mãn điều kiện a ne 0)$

Vậy hàm số bậc hai đó là $y = f(x) = {x^2} + 1$

b) Tập giá trị $T = { {x^2} + 1|x in mathbb{R}}$

Vì {x^2} + 1 ge 1;forall x in mathbb{R} nên T = [1; + infty )

Đỉnh S có tọa độ: ${x_S} = frac{{ - b}}{{2a}} = frac{{ - 0}}{{2.1}} = 0;{y_S} = f(0) = 1$

Hay Sleft( {0;1} right).

Vì hàm số bậc hai có a = 1 > 0 nên ta có bảng biến thiên sau:

Hàm số nghịch biến trên khoảng $left( { - infty ;0} right)$ và đồng biến trên khoảng $left( {0; + infty } right)$

Bài 5 trang 56

Cho hàm số $y = 2{x^2} + x + m.$ Hãy xác định giá trị của m để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5.

Gợi ý đáp án

Đỉnh S có tọa độ: ${x_S} = frac{{ - b}}{{2a}} = frac{{ - 1}}{{2.2}} = - frac{1}{4};{y_S} = f( - frac{1}{4}) = 2{left( { - frac{1}{4}} right)^2} + left( { - frac{1}{4}} right) + m = m - frac{1}{8}$

Ta có: a = 2 > 0, hàm số có bảng biến thiên dạng:

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $m - frac{1}{8} = 5 Leftrightarrow m = frac{{41}}{8}.$

Vậy $m = frac{{41}}{8}$ thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5.

Bài 6 trang 56

Vẽ đồ thị các hàm số sau:

$a) y = 2{x^2} + 4x - 1$

$b) y = - {x^2} + 2x + 3$

$c) y = - 3{x^2} + 6x$

$d) y = 2{x^2} - 5$

Gợi ý đáp án

$a) y = 2{x^2} + 4x - 1$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai $y = 2{x^2} + 4x - 1$ là một parabol (P):

+ Có đỉnh S với hoành độ: ${x_S} = frac{{ - b}}{{2a}} = frac{{ - 4}}{{2.2}} = - 1;{y_S} = 2.{( - 1)^2} + 4.( - 1) - 1 = - 3.$

+ Có trục đối xứng là đường thẳng x = – 1 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm quay lên trên vì a = 2 > 0

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; -1).

Ta vẽ được đồ thị như hình dưới.

$b) y = - {x^2} + 2x + 3$

Gợi ý đáp án:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai $y = - {x^2} + 2x + 3$ là một parabol (P):

+ Có đỉnh S với hoành độ: ${x_S} = frac{{ - b}}{{2a}} = frac{{ - 2}}{{2.( - 1)}} = 1;{y_S} = - {1^2} + 2.1 + 3 = 4.$

+ Có trục đối xứng là đường thẳng x = 1 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm quay xuống dưới vì a = – 1 < 0

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 3).

Ta vẽ được đồ thị như hình dưới.

$c) y = - 3{x^2} + 6x$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai $y = - 3{x^2} + 6x$ là một parabol (P):

+ Có đỉnh S với hoành độ: ${x_S} = frac{{ - b}}{{2a}} = frac{{ - 6}}{{2.( - 3)}} = 1;{y_S} = - {3.1^2} + 6.1 = 3$

+ Có trục đối xứng là đường thẳng x = 1 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm quay xuống dưới vì a = – 3 < 0

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 0, tức là đồ thị đi qua gốc tọa độ (0; 0).

Ta vẽ được đồ thị như hình dưới.

$d) y = 2{x^2} - 5$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai $y = 2{x^2} - 5$ là một parabol (P):

+ Có đỉnh S với hoành độ: ${x_S} = frac{{ - b}}{{2a}} = frac{{ - 0}}{{2.2}} = 0;{y_S} = {2.0^2} - 5 = - 5.$

+ Có trục đối xứng là đường thẳng x = 0 (trùng với trục Oy);

+ Bề lõm quay lên trên vì a = 2 > 0

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -5, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; -5).

Ta vẽ được đồ thị như hình dưới.

Bài 7 trang 56

Hãy xác định đúng đồ thị của mỗi hàm số sau trên Hình 12.

Gợi ý đáp án

Vì 4 đồ thị hàm số cắt trục tung tại 4 điểm phân biệt nên ta chỉ cần xác định tọa độ giao điểm của mỗi hàm số với trục tung là có thể phân biệt 4 đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm số $({P_1}):y = - 2{x^2} - 4x + 2$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 2) => Đồ thị là đường màu xanh lá.

Đồ thị hàm số $({P_2}):y = 3{x^2} - 6x + 5$ ; cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 5) => Đồ thị là đường màu xanh dương.

Đồ thị hàm số $({P_3}):y = 4{x^2} - 8x + 7$ ; cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 7, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 7) => Đồ thị là đường màu nâu đỏ.

Đồ thị hàm số $({P_4}):y = - 3{x^2} - 6x - 1$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; -1) => Đồ thị là đường màu vàng.

Bài 8 trang 56

Tìm công thức của hàm số bậc hai có đồ thị như Hình 13.

Gợi ý đáp án

Gọi công thức của hàm số bậc hai là $y = a{x^2} + bx + c$

Đồ thị hàm số đi qua 3 điểm có tọa độ (-1;0), (4;0), (0;-4)

$begin{array}{l} Rightarrow left{ begin{array}{l}a.{( - 1)^2} + b.( - 1) + c = 0\a{.4^2} + b.4 + c = 0\a{.0^2} + b.0 + c = - 4end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a - b + c = 0\16a + 4b + c = 0\c = - 4end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a - b = 4\16a + 4b = 4\c = - 4end{array} right.\ Leftrightarrow a = 1,b = - 3,c = - 4.end{array}$

Vậy hàm số cần tìm có công thức $y = {x^2} - 3x - 4$

Bài 9 trang 56

Chiếc cầu dây văng một nhịp được thiết kế hai bên thành cầu có dạng parabol và được cố định bằng các dây cáp song song.

Dựa vào bản vẽ ở Hình 14, hãy tính chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên. Biết:

– Dây dài nhất là 5 m, dây ngắn nhất là 0,8 m. Khoảng cách giữa các dây bằng nhau.

– Nhịp cầu dài 30 m.

– Cần tính thêm 5% chiều dài mỗi sợi dây cáp để neo cố định.

Gợi ý đáp án

Gọi $y = a{x^2} + bx + c$ là công thức của hàm số có đồ thị là thành cầu.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình dưới:

Khi đó độ dài dây cáp dọc ở mỗi mặt bên là tung độ của điểm biểu diễn tương ứng.

Ở mỗi mặt: có 21 dây cáp dọc, tương ứng cho 20 khoảng cách giữa chúng.

Khoảng cách giữa hai dây cáp liền kề là: $30:20 = 1,5left( m right)$

Khi đó: ${x_0} = 0;{x_1} = 1,5;;{x_2} = 3;;{x_3} = 4,5;;...;{x_n} = 1,5.n;$

Dễ thấy: các điểm có tọa độ $(0; 5), ({x_{10}};0,8), ({x_{20}};5)$ thuộc đồ thị hàm số.

(Trong đó: ${x_{10}} = 10.1,5 = 15;;{x_{20}} = 20.1,5 = 30.)$

Suy ra:

$f(0) = a{.0^2} + b.0 + c = 5 Leftrightarrow c = 5$

Và $f(1) = a{.10^2} + b.10 + c = 0,8 Leftrightarrow 100a + 10b + 5 = 0,8$

$f(2) = a{.30^2} + b.30 + c = 5 Leftrightarrow 900a + 30b + 5 = 5$

Giải hệ phương trình $left{ begin{array}{l}100a + 10b + 5 = 0,8\900a + 30b + 5 = 5end{array} right.$ ta được $a = frac{{21}}{{1000}};b = - frac{{63}}{{100}}$