Bài tập sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

thptnguyendinhchieu Tháng Sáu 22, 2024

0 3 minutes read

Bài tập sự đồng biến và nghịch biến của hàm số là tài liệu cực kì hữu ích mà THPT Nguyễn Đình Chiểu muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các bạn học sinh lớp 12 cùng tham khảo.

Chuyên đề sự đồng biến nghịch biến của hàm số bao gồm 25 trang tóm tắt lý thuyết, ví dụ minh họa tương ứng với các dạng bài khác nhau, có phân dạng và lời giải chi tiết kèm. Đây là tài liệu cực kì hữu ích cho các bạn lớp 12 ôn thi kỳ thi THPT Quốc gia 2022. Đồng thời giúp quý thầy cô có thêm nhiều tư liệu tham khảo trong quá trình dạy học. Mời các bạn cùng theo dõi và tải tài liệu tại đây.

Bạn đang xem: Bài tập sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Table of Contents

Bài tập sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa

+ Hàm số đồng biến trên khoảng khi và chỉ khi với mọi giá trị x thuộc khoảng . Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng khi và chỉ khi với mọi giá trị x thuộc khoảng . Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

2. Định lí

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K.

a) Nếu 0″ width=”75″ height=”23″ data-type=”0″ data-latex=”f^{prime}(x)>0″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=f%5E%7B%5Cprime%7D(x)%3E0″> với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu <img alt="f^{prime}(x)<0" width="75" height="23" data-type="0" data-latex="f^{prime}(x) với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

c) Nếu $f^{prime}(x)=0$ với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) không đổi trên K.

Chú ý: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a ; b] và có đạo hàm 0″ width=”75″ height=”23″ data-type=”0″ data-latex=”f^{prime}(x)>0″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=f%5E%7B%5Cprime%7D(x)%3E0″> trên khoảng (a ; b) thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a ; b]. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a ; b] và có đạo hàm <img alt="f^{prime}(x)<0" width="75" height="23" data-type="0" data-latex="f^{prime}(x) trên khoảng (a ; b) thì hàm số f nghịch biến trên đoạn [a ; b].

3. Định lí mở rộng:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K.

a) Nếu $f^{prime}(x) geq 0$ với mọi x thuộc K và $f^{prime}(x)=0$ xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu $f^{prime}(x) leq 0$ với mọi x thuộc K và $f^{prime}(x)=0$ xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính đạo hàm $f^{prime}(x)$ . Tìm các điểm $x_{i}(i=1,2, ldots, n)$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

Bước 3: Sắp xếp các điểm $x_{i}$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

5. Ví dụ minh họa

Vi dụ 1: Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau:

a. $y=x^{3}-3 x^{2}+2$

b. $y=-x^{3}+3 x^{2}-3 x+2$

c $. y=x^{3}+2 x$

Hướng dẫn giải

a. $y=x^{3}-3 x^{2}+2$

– Hàm số xác định với mọi $x in mathbb{R}.$

– Ta có: $y^{prime}=3 x^{2}-6 x$ , cho $y^{prime}=0 Rightarrow 3 x^{2}-6 x=0 Leftrightarrow x=0, x=2.$

– Bảng biến thiên:

– Dựa vào bảng biến thiên suy ra:

‘ Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-infty ; 0) và (2 ;+infty).$

ㄴ Hàm số nghịch biến trên khoảng (0 ; 2).

Chú $dot{y}$ : Không được kết luận: “Hàm số đồng biến trên khoảng $(-infty ; 0) cup(2 ;+infty)$ “

$b. y=-x^{3}+3 x^{2}-3 x+2$

– Hàm số xác định với mọi $x in mathbb{R}.$

– Ta có: $y^{prime}=-3 x^{2}+6 x-3$ , cho $y^{prime}=0 Rightarrow-3 x^{2}+6 x-3=0 Rightarrow x=1$ (nghiệm kép) $Rightarrow y^{prime} leq 0, forall x in mathbb{R} Rightarrow$ hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định $mathbb{R}.$

$c. y=x^{3}+2 x.$

– Hàm số xác định với mọi $x in mathbb{R}.$

– $y^{prime}=3 x^{2}+2, cho y^{prime}=0 Rightarrow 3 x^{2}+2=0$ (vô nghiệm)
0, forall x in mathbb{R} Rightarrow” width=”162″ height=”22″ data-type=”0″ data-latex=”Rightarrow y^{prime}>0, forall x in mathbb{R} Rightarrow” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5CRightarrow%20y%5E%7B%5Cprime%7D%3E0%2C%20%5Cforall%20x%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%20%5CRightarrow”> hàm số luôn đồng biến trên tập xác định R