Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

thptnguyendinhchieu Tháng sáu 23, 2024

0 3 minutes read

Giải Toán 10 Bài 10 Vectơ trong mặt phẳng tọa độ sách Kết nối tri thức với cuộc sống là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh lớp 10 có thêm nhiều gợi ý tham khảo, dễ dàng đối chiếu kết quả khi làm bài tập toán trang 65.

Giải SGK Toán 10 Bài 10 trang 65 tập 1 được biên soạn chi tiết, bám sát nội dung trong sách giáo khoa. Mỗi bài toán đều được giải thích cụ thể, chi tiết. Qua đó giúp các em củng cố, khắc sâu thêm kiến thức đã học trong chương trình chính khóa; có thể tự học, tự kiểm tra được kết quả học tập của bản thân. Vậy sau đây là giải Toán 10 bài Vectơ trong mặt phẳng tọa độ, mời các bạn cùng đón đọc.

Bạn đang xem: Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Table of Contents

Giải Toán 10 trang 65 Kết nối tri thức Tập 1

Bài 4.16 trang 65

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(1; 3), N(4; 2)

a) Tính độ dài các đoạn thẳng OM, ON, MN.

b) Chứng minh rằng tam giác OMN vuông cân.

Gợi ý đáp án

a) Ta có: M(1; 3) và N (4; 2)

$Rightarrow overrightarrow {OM} (1;3),;,overrightarrow {ON} (4;2),;overrightarrow {MN} = (4 - 1;2 - 3) = (3; - 1)$

$Rightarrow OM = left| {overrightarrow {OM} } right| = sqrt {{1^2} + {3^2}} = sqrt {10} ,ON = left| {overrightarrow {ON} } right| = sqrt {{4^2} + {2^2}} = 2sqrt 5 ,MN$

$= left| {overrightarrow {MN} } right| = sqrt {{3^2} + {{left( { - 1} right)}^2}} = sqrt {10}$

b) Dễ thấy: $OM = sqrt {10} = MN Rightarrow Delta$ OMN cân tại M.

Lại có: $O{M^2} + M{N^2} = 10 + 10 = 20 = O{N^2}$

$Rightarrow$ Theo định lí Pythagore đảo, ta có $Delta OMN$ vuông tại M.

Vậy $Delta OMN$ vuông cân tại M.

Bài 4.17 trang 65

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vectơ $overrightarrow a = 3.overrightarrow i - 2.overrightarrow j ,overrightarrow b = left( {4; - 1} right)$ và các điểm M (-3; 6), N(3; -3).

a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ $overrightarrow {MN}$ và $2;overrightarrow a - overrightarrow b .$

b) Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không?

c) Tìm điểm P(x; y) để OMNP là một hình bình hành.

Gợi ý đáp án

a) Ta có: $overrightarrow b = left( {4; - 1} right) và overrightarrow a = 3.overrightarrow i - 2.overrightarrow j ;; Rightarrow ;overrightarrow a ;left( {3; - 2} right)$

$Rightarrow 2;overrightarrow a - overrightarrow b = left( {2.3 - 4;;;2.left( { - 2} right) - left( { - 1} right)} right) = left( {2; - 3} right)$

Lại có: M (-3; 6), N(3; -3)

$Rightarrow overrightarrow {MN} = left( {3 - left( { - 3} right); - 3 - 6} right) = left( {6; - 9} right)$

Dễ thấy: $left( {6; - 9} right) = 3.left( {2; - 3} right) Rightarrow overrightarrow {MN} = 3left( {2;overrightarrow a - overrightarrow b } right)$

b) Ta có: $overrightarrow {OM} = left( { - 3;6} right) ( do M(-3; 6)) và overrightarrow {ON} = left( {3; - 3} right) (do N (3; -3)).$

Hai vectơ này không cùng phương (vì $frac{{ - 3}}{3} ne frac{6}{{ - 3}}$ ).

Do đó các điểm O, M, N không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy chúng không thẳng hàng.

c) Các điểm O, M, N không thẳng hàng nên OMNP là một hình hành khi và chỉ khi $overrightarrow {OM} = overrightarrow {PN} .$

Do $overrightarrow {OM} = left( { - 3;6} right),;overrightarrow {PN} = left( {3 - x; - 3 - y} right)$ nên

$overrightarrow {OM} = overrightarrow {PN} Leftrightarrow left{ begin{array}{l} - 3 = 3 - x\6 = - 3 - yend{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = 6\y = - 9end{array} right.$

Vậy điểm cần tìm là P (6; -9).

Bài 4.18 trang 65

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1; 3), B(2; 4), C(-3; 2).

a) Hãy giải thích vì sao các điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm điểm D(x; y) để O(0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD.

Gợi ý đáp án

Ta có: $overrightarrow {AB} = left( {2 - 1;4 - 3} right) = left( {1;1} right),;overrightarrow {AC} = left( { - 3 - 1;2 - 3} right) = left( { - 4; - 1} right)$

Hai vectơ này không cùng phương (vì $frac{1}{{ - 4}} ne frac{1}{{ - 1}}$ ).

Do đó các điểm A, B, C không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy chúng không thẳng hàng.

b) Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là $left( {frac{{1 + 2}}{2};frac{{3 + 4}}{2}} right) = left( {frac{3}{2};frac{7}{2}} right)$

c) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là $left( {frac{{1 + 2 + left( { - 3} right)}}{3};frac{{3 + 4 + 2}}{3}} right) = left( {0;3} right)$

d) Để O (0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD thì $left( {0;0} right) = left( {frac{{{x_A} + {x_B} + {x_D}}}{3};frac{{{y_A} + {y_B} + {y_D}}}{3}} right)$

$Leftrightarrow left( {0;0} right) = left( {frac{{1 + 2 + x}}{3};frac{{3 + 4 + y}}{3}} right)$

$begin{array}{l} Leftrightarrow left( {0;0} right) = left( {1 + 2 + x;3 + 4 + y} right)\ Leftrightarrow left( {0;0} right) = left( {x + 3;y + 7} right)\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}0 = x + 3\0 = y + 7end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = - 3\y = - 7end{array} right.end{array}$

Vậy tọa độ điểm D là (-3; -7).

Bài 4.19 trang 65

Sự chuyển động của một tàu thủy được thể hiện trên một mặt phẳng tọa độ như sau:

Tàu khởi hành từ vị trí A(1; 2) chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ $overrightarrow v = left( {3;4} right)$ . Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.

Gợi ý đáp án

Gọi B(x; y) là vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.

Do tàu khởi hành từ A đi chuyển với vận tốc được biểu thị bởi vectơ $overrightarrow v = left( {3;4} right)$ nên cứ sau mỗi giờ, tàu đi chuyển được một quãng bằng $left| {overrightarrow v } right|.$

Vậy sau 1,5 giờ tàu di chuyển tới B, ta được: $overrightarrow {AB} = 1,5.overrightarrow v$

$begin{array}{l} Leftrightarrow (x - 1;y - 2) = 1,5;.left( {3;4} right)\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x - 1 = 4,5\y - 2 = 6end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = 5,5\y = 8end{array} right.end{array}$