Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến

thptnguyendinhchieu Tháng sáu 22, 2024

0 2 minutes read

Có nhiều phương pháp để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức nhiều biến trở lên. Hôm nay THPT Nguyễn Đình Chiểu xin giới thiệu Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến.

Đây là tài liệu hữu ích, gồm 16 trang tổng hợp lý thuyết và bài tập của 7 phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức nhiều biến trở lên. Hy vọng với tài liệu này các bạn lớp 12 có thêm nhiều tài liệu tham khảo, củng cố kiến thức để đạt được kết quả cao trong các bài kiểm tra, bài thi THPT Quốc gia sắp tới. Mời các bạn cùng theo dõi và tải tài liệu tại đây.

Bạn đang xem: Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến

Table of Contents

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm nhiều biến

A. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Bài toán chung: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của hàm số f(x)

Bước 1: Dự đoán và chứng minh $f(x) geq c ; f(x) leq c$

Bước 2: Chỉ ra 1 điều kiện đủ để f(x)=c

2. Các phương pháp thường sử dụng

Phương pháp 1: Biến đổi thành tổng các bình phương

Phương pháp 2: Tam thức bậc hai.

Phương pháp 3: Sử dụng bất đẳng thức cổ điển: Côsi; Bunhiacopski

Phương pháp 4: Sử dụng đạo hàm. Phương pháp 5: Sử dụng đổi biến lượng giác.

Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp vectơ và hệ tọa độ

Phương pháp 7: Sử dụng phương pháp hình học và hệ tọa độ.

II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA:

Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P(x, y)=x^{2}+11 y^{2}-6 x y+8 x-28 y+21$

Giải.

Biến đổi biểu thức dưới dạng $P(x, y)=(x-3 y+4)^{2}+2(y-1)^{2}+3 geq 3$

Từ đó suy ra $operatorname{Min} P(x, y)=3 Leftrightarrowleft{begin{array}{l}y-1=0 \ x-3 y+4=0end{array} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}y=1 \ x=-1end{array}right.right.$

Bài 2. Cho x, y>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của: $S=frac{x^{4}}{y^{4}}+frac{y^{4}}{x^{4}}-frac{x^{2}}{y^{2}}-frac{y^{2}}{x^{2}}+frac{x}{y}+frac{y}{x}$

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $S=sin ^{2} x+sin ^{2} y+sin ^{2}(x+y)$

Giải

$S=sin ^{2} x+sin ^{2} y+sin ^{2}(x+y)=frac{1-cos 2 x}{2}+frac{1-cos 2 y}{2}+1-cos ^{2}(x+y)$

$S=2-cos (x+y) cos (x-y)-cos ^{2}(x+y)$

$=frac{9}{4}-left[frac{1}{4}+cos (x+y) cos (x-y)+cos ^{2}(x+y)right]$

$S=frac{9}{4}-left[frac{1}{2} cos (x-y)+cos (x+y)right]^{2}-frac{1}{4} sin ^{2}(x-y) leq frac{9}{4} .$

Với $x=y=frac{pi}{3}+k pi,(k in mathbb{Z})$ thì Max $S=frac{9}{4}$

Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$S=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+ldots+x_{8}^{2}-left(x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+ldots+x_{6} x_{7}+x_{7} x_{8}+x_{8}right)$

GIẢI

$S=left(x_{1}-frac{1}{2} x_{2}right)^{2}+frac{3}{4}left(x_{2}-frac{2}{3} x_{3}right)^{2}+frac{4}{6}left(x_{3}-frac{3}{4} x_{4}right)^{2}+frac{5}{8}left(x_{4}-frac{4}{5} x_{5}right)^{2}+$

$+frac{6}{10}left(x_{5}-frac{5}{6} x_{6}right)^{2}+frac{7}{12}left(x_{6}-frac{6}{7} x_{7}right)^{2}+frac{8}{14}left(x_{7}-frac{7}{8} x_{8}right)^{2}+frac{9}{16}left(x_{8}-frac{8}{9}right)^{2}-frac{4}{9} geq-frac{4}{9}$

Với $x_{1}=frac{1}{2} x_{2} ; x_{2}=frac{2}{3} x_{3} ; ldots ; x_{6}=frac{6}{7} x_{7} ; x_{7}=frac{7}{8} x_{8} ; x_{8}=frac{8}{9}$ , thì Min $S=-frac{4}{9}$

Bài 5. Cho $x, y, z in mathbb{R}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$mathrm{S}=19 x^{2}+54 y^{2}+16 z^{2}-16 x z-24 y+36 x y$

Giải.

Biến đổi $mathrm{S} Leftrightarrow f(x)=19 x^{2}-2(8 z-18 y) x+54 y^{2}+16 z^{2}-24 y$

Ta có $Delta_{x}^{prime}=g(y)=(8 z-18 y)^{2}-left(54 y^{2}+16 z^{2}-24 yright)=-702 y^{2}+168 z y-240 z^{2}$

$Rightarrow Delta_{y}^{prime}=(84 z)^{2}-702.240 z^{2}=-161424 z^{2} leq 0 quad forall z in mathrm{R} Rightarrow g(y) leq 0 forall y, z in mathrm{R}$

Suy ra $Delta_{x}^{prime} leq 0 quad forall y, z in mathrm{R} Rightarrow f(x) geq 0$ . Với $x=y=z=0 thì operatorname{Min} S=0$

Bài 6. Cho $x^{2}+x y+y^{2}=3$ . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

$mathrm{S}=x^{2}-x y+y^{2}$

Giải

Xét y=0 $Rightarrow x^{2}=3 Rightarrow mathrm{S}=3$ là 1 giá trị của hàm số.

Xét $y neq 0$ , khi đó biến đổi biểu thức dưới dạng sau đây

$u=frac{S}{3}=frac{x^{2}-x y+y^{2}}{x^{2}+x y+y^{2}}=frac{(x / y)^{2}-(x / y)+1}{(x / y)^{2}+(x / y)+1}=frac{t^{2}-t+1}{t^{2}+t+1}=u với t=frac{x}{y}$