Giải Toán 8 Bài 5: Phép cộng các phân thức đại số

thptnguyendinhchieu Tháng Sáu 22, 2024

0 3 minutes read

Giải bài tập SGK Toán 8 Tập 1 trang 46, 47, 48 giúp các em học sinh lớp 8 xem gợi ý giải các bài tập của Bài 5: Phép cộng các phân thức đại số. Thông qua đó, các em sẽ biết cách giải toàn bộ các bài tập của bài 5 Chương 2 phần Đại số trong sách giáo khoa Toán 8 Tập 1.

Table of Contents

Lý thuyết bài 5: Phép cộng các phân thức đại số

1. Cộng hai phân thức cùng mẫu thức

Bạn đang xem: Giải Toán 8 Bài 5: Phép cộng các phân thức đại số

Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau, giữ nguyên mẫu thức.

$dfrac{A}{B}+dfrac{C}{B}=dfrac{A+C}{B}$

2. Cộng phân thức có mẫu thức khác mẫu thức

Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Giải bài tập Toán 8 trang 46 tập 1

Bài 21 (trang 46 SGK Toán 8 Tập 1)

Thực hiện các phép tính sau:

a) $dfrac{3x-5}{7}+dfrac{4x+5}{7}$

c) $dfrac{x+1}{x-5}+dfrac{x-18}{x-5}+dfrac{x+2}{x-5}$

b) $dfrac{5xy-4y}{2x^{2}y^{3}}+dfrac{3xy+4y}{2x^{2}y^{3}}$

Gợi ý đáp án:

a) $dfrac{3x-5}{7}+dfrac{4x+5}{7}$

$=dfrac{3x-5+4x+5}{7}=dfrac{7x}{7}=x$

c) $dfrac{x+1}{x-5}+dfrac{x-18}{x-5}+dfrac{x+2}{x-5}$

$=dfrac{x+1+x-18+x+2}{x-5}$

$=dfrac{3x-15}{x-5}=dfrac{3(x-5)}{x-5}=3$

b) $dfrac{5xy-4y}{2x^{2}y^{3}}+dfrac{3xy+4y}{2x^{2}y^{3}}$

$=dfrac{5xy-4y+3xy+4y}{2x^{2}y^{3}}$

$=dfrac{8xy}{2x^{2}y^{3}}=dfrac{4}{xy^{2}}$

Bài 22 (trang 46 SGK Toán 8 Tập 1)

Áp dụng quy tắc đổi dấu để các phân thức có cùng mẫu thức rồi làm tính cộng phân thức:

a) $dfrac{2x^{2}-x}{x-1}+dfrac{x+1}{1-x}+dfrac{2-x^{2}}{x-1}$

b) $dfrac{4-x^{2}}{x-3}+dfrac{2x-2x^{2}}{3-x}+dfrac{5-4x}{x-3}$

Gợi ý đáp án:

a) $dfrac{2x^{2}-x}{x-1}+dfrac{x+1}{1-x}+dfrac{2-x^{2}}{x-1}$

$=dfrac{2x^{2}-x}{x-1}+dfrac{-(x+1)}{-(1-x)}+dfrac{2-x^{2}}{x-1}$

$=dfrac{2x^{2}-x}{x-1}+dfrac{-x-1}{x-1}+dfrac{2-x^{2}}{x-1}$

$=dfrac{2x^{2}-x-x-1+2-x^{2}}{x-1}$

$=dfrac{x^{2}-2x+1}{x-1}=dfrac{{{{left( {x - 1} right)}^2}}}{{x - 1}}=x-1$

b) $dfrac{4-x^{2}}{x-3}+dfrac{2x-2x^{2}}{3-x}+dfrac{5-4x}{x-3}$

$=dfrac{4-x^{2}}{x-3}+dfrac{-(2x-2x^{2})}{-(3-x)}+dfrac{5-4x}{x-3}$

$=dfrac{4-x^{2}}{x-3}+dfrac{2x^{2}-2x}{x-3}+dfrac{5-4x}{x-3}$

$=dfrac{4-x^{2}+2x^{2}-2x+5-4x}{x-3}$

$=dfrac{x^{2}-6x+9}{x-3}=dfrac{{{x^2} - 2.x.3 + {3^2}}}{{x - 3}}$

$=dfrac{(x-3)^{2}}{x-3}= x-3$

Bài 23 (trang 46 SGK Toán 8 Tập 1)

Làm các phép tính sau:

a) $dfrac{y}{2x^{2}-xy}+dfrac{4x}{y^{2}-2xy}$

c) $dfrac{1}{x+2}+dfrac{1}{(x+2)(4x+7)}$

b) $dfrac{1}{x+2}+dfrac{3}{x^{2}-4}+dfrac{x-14}{(x^{2}+4x+4)(x-2)}$

d) $dfrac{1}{x+3}+dfrac{1}{(x+3)(x+2)}+dfrac{1}{(x+2)(4x+7)}$

Gợi ý đáp án:

a) $dfrac{y}{2x^{2}-xy}+dfrac{4x}{y^{2}-2xy}=dfrac{y}{x(2x-y)}+dfrac{4x}{y(y-2x)}$

$=dfrac{y}{x(2x-y)}+dfrac{-4x}{y(2x-y)}$ (Áp dụng quy tắc đổi dấu ở phân thức thứ hai)

$=dfrac{y^{2}}{xy(2x-y)}+dfrac{-4x^{2}}{xy(2x-y)}$ (Quy đồng hai phân thức với $MTC = xy(2x – y)$ )

$= dfrac{y^{2}-4x^{2}}{xy(2x-y)}=dfrac{(y-2x)(y+2x)}{xy(2x-y)}$

$=dfrac{-(2x-y)(y+2x)}{xy(2x-y)}$

$=dfrac{-(2x+y)}{xy}$

b) Xét các mẫu thức:

$eqalign{ & {x^2} - 4 = left( {x - 2} right)left( {x + 2} right) cr & left( {{x^2} + 4x + 4} right)left( {x - 2} right) cr&= left( {{x^2} + 2.x.2 + {2^2}} right)left( {x - 2} right) cr&= {left( {x + 2} right)^2}left( {x - 2} right) cr}$

$MTC ={left( {x + 2} right)^2}left( {x - 2} right)$

Ta có:

$dfrac{1}{x+2}+dfrac{3}{x^{2}-4}+dfrac{x-14}{(x^{2}+4x+4)(x-2)}$

$=dfrac{1}{x+2}+dfrac{3}{(x-2)(x+2)}+dfrac{x-14}{(x+2)^{2}(x-2)}$

$=dfrac{(x+2)(x-2)}{(x+2)^{2}(x-2)}+dfrac{3(x+2)}{(x-2)(x+2)^{2}}+dfrac{x-14}{(x+2)^{2}(x-2)}$

$=dfrac{x^2-4}{(x+2)^{2}(x-2)}+dfrac{3x+6}{(x-2)(x+2)^{2}}+dfrac{x-14}{(x+2)^{2}(x-2)}$

$=dfrac{x^{2}-4+3x+6+x-14}{(x+2)^{2}(x-2)}= dfrac{x^{2}+4x-12}{(x+2)^{2}(x-2)}$

$=dfrac{x^{2}-2x+6x-12}{(x+2)^{2}(x-2)}= dfrac{x(x-2)+6(x-2)}{(x+2)^{2}(x-2)}$

$= dfrac{(x-2)(x+6)}{(x+2)^{2}(x-2)}=dfrac{x+6}{(x+2)^{2}}$

c) $dfrac{1}{x+2}+dfrac{1}{(x+2)(4x+7)}$

$=dfrac{4x+7}{(x+2)(4x+7)}+dfrac{1}{(x+2)(4x+7)}$

$= dfrac{{4x + 7 + 1}}{{(x + 2)(4x + 7)}}$

$=dfrac{4x+8}{(x+2)(4x+7)}$

$=dfrac{4(x+2)}{(x+2)(4x+7)}=dfrac{4}{4x+7}$

d) $dfrac{1}{x+3}+dfrac{1}{(x+3)(x+2)}+dfrac{1}{(x+2)(4x+7)}$

$=left(dfrac{1}{x+3}+dfrac{1}{(x+3)(x+2)}right)+dfrac{1}{(x+2)(4x+7)}$

$=left( dfrac{x+2}{(x+3)(x+2)}+dfrac{1}{(x+3)(x+2)}right)+dfrac{1}{(x+2)(4x+7)}$

$= dfrac{{x + 2 + 1}}{{(x + 3)(x + 2)}} + dfrac{1}{{(x + 2)(4x + 7)}}$

$=dfrac{x+3}{(x+3)(x+2)}+dfrac{1}{(x+2)(4x+7)}$

$=dfrac{1}{x+2}+dfrac{1}{(x+2)(4x+7)}$

$=dfrac{4x+7}{(x+2)(4x+7)}+dfrac{1}{(x+2)(4x+7)}$

$= dfrac{{4x + 7 + 1}}{{(x + 2)(4x + 7)}}$

$=dfrac{4x+8}{(x+2)(4x+7)}$

$=dfrac{4(x+2)}{(x+2)(4x+7)}=dfrac{4}{4x+7}$

Bài 24 (trang 46 SGK Toán 8 Tập 1)

Một con mèo đuổi bắt một con chuột. Lần đầu mèo chạy với vận tốc x m/s. Chạy được 3m thì mèo bắt được chuột. Mèo vờn chuột 40 giây rồi thả cho chuột chạy. Sau đó 15 giây mèo lại đuổi bắt nhưng với vận tốc lần đầu là 0,5 m/s. Chạy được 5m mèo lại bắt được chuột. Lần này thì mèo cắn chết chuột. Cuộc săn đuổi kết thúc. Hãy biểu diễn qua x:

Thời gian lần thức nhất mèo đuổi bắt được chuột.
Thời gian lần thứ hai mèo đuổi bắt được chuột.
Thời gian kể từ đầu cho đến khi kết thúc cuộc săn.

Gợi ý đáp án:

– Vì vận tốc lần đầu mèo chạy là x (m/s) nên vận tốc lần thứ hai mèo chạy là x – 0,5 (m/s)

– Vì quãng đường để mèo bắt được chuột lần thứ nhất là 3m nên thời gian lần thứ nhất mèo bắt được chuột là $dfrac{3}{x}$ (giây)

– Vì quãng đường để mèo bắt được chuột lần thứ hai là 5m nên thời gian lần thứ hai mèo bắt được chuột là $dfrac{5}{x-0,5}$ (giây)

– Thời gian kể từ lúc đầu đến khi kết thúc cuộc săn là: $dfrac{3}{x} + 40 + 15 + dfrac{5}{x-0,5}$ (giây)

hay $dfrac{3}{x} + 55+ dfrac{5}{x-0,5}$ (giây)

Giải bài tập Toán 8 trang 47, 48 tập 1: Luyện tập

Bài 25 (trang 47 SGK Toán 8 Tập 1)

Làm tính cộng các phân thức sau:

a) $dfrac{5}{{2{x^2}y}} + dfrac{3}{{5x{y^2}}} + dfrac{x}{{{y^3}}}$

c) $dfrac{{3x + 5}}{{{x^2} - 5x}} + dfrac{{25 - x}}{{25 - 5x}}$

b) $dfrac{{x + 1}}{{2x + 6}} + dfrac{{2x + 3}}{{xleft( {x + 3} right)}}$

d) ${x^2} + dfrac{{{x^4} + 1}}{{1 - {x^2}}} + 1$

e) $dfrac{{4{x^2} - 3x + 17}}{{{x^3} - 1}} + dfrac{{2x - 1}}{{{x^2} + x + 1}} + dfrac{6}{{1 - x}}$

Gợi ý đáp án:

a) $dfrac{5}{{2{x^2}y}} + dfrac{3}{{5x{y^2}}} + dfrac{x}{{{y^3}}}$

$eqalign{ & ,,MTC = 10{x^2}{y^3} cr &text{Ta có:} cr & {5 over {2{x^2}y}} + {3 over {5x{y^2}}} + {x over {{y^3}}} cr & = {{5.5{y^2}} over {2{x^2}y.5{y^2}}} + {{3.2xy} over {5x{y^2}.2xy}} + {{x.10{x^2}} over {{y^3}.10{x^2}}} cr & = {{25{y^2}} over {10{x^2}{y^3}}} + {{6xy} over {10{x^2}{y^3}}} + {{10{x^3}} over {10{x^2}{y^3}}} cr & = {{25{y^2} + 6xy + 10{x^3}} over {10{x^2}{y^3}}} cr}$

b) $dfrac{{x + 1}}{{2x + 6}} + dfrac{{2x + 3}}{{xleft( {x + 3} right)}}$

$eqalign{ & ,,MTC = 2xleft( {x + 3} right) cr &text{Ta có:} cr & {{x + 1} over {2x + 6}} + {{2x + 3} over {xleft( {x + 3} right)}} cr & = {{x + 1} over {2left( {x + 3} right)}} + {{2x + 3} over {xleft( {x + 3} right)}} cr & = {{xleft( {x + 1} right)} over {2xleft( {x + 3} right)}} + {{2left( {2x + 3} right)} over {2xleft( {x + 3} right)}} cr & = {{{x^2} + x} over {2xleft( {x + 3} right)}} + {{4x + 6} over {2xleft( {x + 3} right)}} cr & = {{{x^2} + x + 4x + 6} over {2xleft( {x + 3} right)}} cr & = {{{x^2} + 5x + 6} over {2xleft( {x + 3} right)}} cr & = {{{x^2} + 2x + 3x + 6} over {2xleft( {x + 3} right)}} cr & = {{xleft( {x + 2} right) + 3left( {x + 2} right)} over {2xleft( {x + 3} right)}} cr & = {{left( {x + 2} right)left( {x + 3} right)} over {2xleft( {x + 3} right)}} = {{x + 2} over {2x}} cr}$

c) $dfrac{{3x + 5}}{{{x^2} - 5x}} + dfrac{{25 - x}}{{25 - 5x}}$

$eqalign{ & ,,MTC = 5xleft( {x - 5} right)cr &text{Ta có:} cr & {{3x + 5} over {{x^2} - 5x}} + {{25 - x} over {25 - 5x}} cr & = {{3x + 5} over {{x^2} - 5x}} + {{ - left( {25 - x} right)} over { - left( {25 - 5x} right)}}cr& = {{3x + 5} over {{x^2} - 5x}} + {{x - 25} over {5x - 25}} cr & = {{3x + 5} over {xleft( {x - 5} right)}} + {{x - 25} over {5left( {x - 5} right)}} cr & = {{5left( {3x + 5} right)} over {5xleft( {x - 5} right)}} + {{xleft( {x - 25} right)} over {5xleft( {x - 5} right)}} cr & = {{15x + 25} over {5xleft( {x - 5} right)}} + {{{x^2} - 25x} over {5xleft( {x - 5} right)}} cr & = {{15x + 25 + {x^2} - 25x} over {5xleft( {x - 5} right)}} cr & = {{{x^2} - 10x + 25} over {5xleft( {x - 5} right)}} cr & = {{{x^2} - 2.x.5 + {5^2}} over {5xleft( {x - 5} right)}} cr & = {{{{left( {x - 5} right)}^2}} over {5xleft( {x - 5} right)}} = {{x - 5} over {5x}} cr}$

d) ${x^2} + dfrac{{{x^4} + 1}}{{1 - {x^2}}} + 1$

$eqalign{ & ,MTC = 1 - {x^2} cr &text{Ta có:} cr & {x^2} + {{{x^4} + 1} over {1 - {x^2}}} + 1 cr & = {{rm{x}}^2}+1 + {{{x^4} + 1} over {1 - {x^2}}} cr & = {{1 + {{rm{x}}^2}}over {1}} + {{{x^4} + 1} over {1 - {x^2}}} cr & = {{left( {1 + {x^2}} right)left( {1 - {x^2}} right)} over {1 - {x^2}}} + {{{x^4} + 1} over {1 - {x^2}}} cr & = {{1 - {x^4}} over {1 - {x^2}}} + {{{x^4} + 1} over {1 - {x^2}}} cr & = {{1 - {x^4} + {x^4} + 1} over {1 - {x^2}}} = {2 over {1 - {x^2}}} cr}$

e) $dfrac{{4{x^2} - 3x + 17}}{{{x^3} - 1}} + dfrac{{2x - 1}}{{{x^2} + x + 1}} + dfrac{6}{{1 - x}}$

$MTC = (x^3 – 1) = (x – 1)(x^2 + x + 1)$

$frac{4x^2 – 3x + 17}{x^3 – 1} + frac{2x – 1}{x^2 + x + 1} + frac{6}{1 – x}$

$= frac{4x^2 – 3x + 17}{(x – 1)(x^2 + x + 1)} + frac{2x – 1}{x^2 + x + 1} + frac{6}{1 – x}$

$= frac{4x^2 – 3x + 17}{(x – 1)(x^2 + x + 1)} + frac{(x – 1)(2x – 1)}{(x – 1)(x^2 + x + 1)} + frac{(-6)(x^2 + x + 1)}{(x – 1)(x^2 + x + 1)}$

$= frac{4x^2 – 3x + 17 + 2x^2 – 2x – x+ 1 -6x^2 – 6x – 6}{(x – 1)(x^2 + x + 1)}$

$= frac{-12x + 12}{(x – 1)(x^2 + x + 1)}$

$= frac{-12(x – 1)}{(x – 1)(x^2 + x + 1)}$

$= frac{-12}{(x^2 + x + 1)}$

Bài 26 (trang 47, 48 SGK Toán 8 Tập 1)

Một đội máy xúc trên công trường đường Hồ Chí Minh nhận nhiệm vụ xúc 11600m³ đất. Giai đoạn đầu còn nhiều khó khăn nên máy làm việc với năng suất trung bình x m³/ngày và đội đào được 5000m³. Sau đó công việc ổn định hơn, năng suất của máy tang 25m³/ngày.

Bài 26

a) Hãy biểu diễn:

– Thời gian xúc 5000m³ đầu tiên.

– Thời gian làm nốt phần việc còn lại.

– Thời gian làm việc để hoàn thành công việc.

b) Thời gian làm việc để hoàn thành công việc với $x = 250{m^3}$ /ngày.

Gợi ý đáp án:

a) Thời gian xúc 5000m³ đầu tiên là $dfrac{{5000}}{x}$ (ngày)

Phần việc còn lại là: 11600 – 5000 = 6600m³

Năng suất làm việc ở phần việc còn lại là: x + 25m³/ngày)

Thời gian làm nốt phần việc còn lại là: $dfrac{{6600}}{{x + 25}}$ (ngày)

Thời gian làm việc để hoàn thành công việc là: $dfrac{{5000}}{x} + dfrac{{6600}}{{x + 25}}$ (ngày)

Ta có:

$eqalign{ & {{5000} over x} + {{6600} over {x + 25}} cr & = {{5000left( {x + 25} right)} over {xleft( {x + 25} right)}} + {{6600x} over {xleft( {x + 25} right)}} cr & = {{5000left( {x + 25} right) + 6600x} over {xleft( {x + 25} right)}} cr & = {{11600x + 125000} over {xleft( {x + 25} right)}} cr}$

b) Với năng suất $x = 250{m^3}$ /ngày thì thời gian làm việc là:

$dfrac{{5000}}{{250}} + dfrac{{6600}}{{250 + 25}} = 20 + dfrac{{6600}}{{275}} = 20 + 24= 44$ ( ngày)

Bài 27 (trang 48 SGK Toán 8 Tập 1)

Đố: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức: $dfrac{{{x^2}}}{{5{rm{x}} + 25}} + dfrac{{2left( {x - 5} right)}}{x} + dfrac{{50 + 5{rm{x}}}}{{xleft( {x + 5} right)}}$ tại x = -4.