Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ

thptnguyendinhchieu Tháng sáu 23, 2024

0 2 minutes read

Giải Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ Chân trời sáng tạo là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh lớp 10 có thêm nhiều gợi ý tham khảo, dễ dàng đối chiếu kết quả khi làm bài tập toán trang 97.

Giải SGK Toán 10 Bài 3 trang 97 Chân trời sáng tạo tập 1 được biên soạn chi tiết, bám sát nội dung trong sách giáo khoa. Mỗi bài toán đều được giải thích cụ thể, chi tiết. Qua đó giúp các em củng cố, khắc sâu thêm kiến thức đã học trong chương trình chính khóa; có thể tự học, tự kiểm tra được kết quả học tập của bản thân.

Bạn đang xem: Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ

Giải Toán 10 trang 97 Chân trời sáng tạo – Tập 1

Bài 1 trang 97

Cho hình bình hành ABCD D có O là giao điểm hai đường chéo. Với M là điểm tùy ý, chứng minh rằng:

$a) overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} + overrightarrow {MC} + overrightarrow {MD} = 4overrightarrow {MO}$

$b) overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} + overrightarrow {AD} = 2overrightarrow {AC}$

Gợi ý đáp án

$Leftrightarrow overrightarrow {MO} + overrightarrow {OA} + overrightarrow {MO} + overrightarrow {OB} + overrightarrow {MO} + overrightarrow {OC} + overrightarrow {MO} + overrightarrow {OD} = 4overrightarrow {MO}$

a) $overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} + overrightarrow {MC} + overrightarrow {MD} = 4overrightarrow {MO}$

$Leftrightarrow 4overrightarrow {MO} + left( {overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} } right) + left( {overrightarrow {OC} + overrightarrow {OD} } right) = 4overrightarrow {MO}$

$Leftrightarrow 4overrightarrow {MO} + overrightarrow 0 + overrightarrow 0 = 4overrightarrow {MO} \ Leftrightarrow 4overrightarrow {MO} = 4overrightarrow {MO}$ (luôn đúng)

(vì O là giao điểm 2 đường chéo nên là trung điểm của AB, CD)

b) ABCD là hình bình hành nên ta có $overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} = overrightarrow {AC}$

Suy ra $overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} + overrightarrow {AD} = left( {overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} } right) + overrightarrow {AC} = overrightarrow {AC} + overrightarrow {AC} = 2overrightarrow {AC}$ (đpcm)

Bài 2 trang 97

Cho tứ giác ABCD gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD . Chứng minh rằng

$a) overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} = 2overrightarrow {MN}$

$b) overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} = overrightarrow {BC} + overrightarrow {AD}$

Gợi ý đáp án

$a) overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} = overrightarrow {AM} + overrightarrow {MN} + overrightarrow {NC} + overrightarrow {BM} + overrightarrow {MN} + overrightarrow {ND} \= left( {overrightarrow {AM} + overrightarrow {BM} } right) + left( {overrightarrow {MN} + overrightarrow {MN} } right) + left( {overrightarrow {NC} + overrightarrow {ND} } right)$

$= overrightarrow 0 + 2overrightarrow {MN} + overrightarrow 0 = 2overrightarrow {MN}$ (đpcm)

b) $overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} = overrightarrow {BC} + overrightarrow {AD}$

$overrightarrow {BC} + overrightarrow {AD} = overrightarrow {BM} + overrightarrow {MN} + overrightarrow {NC} + overrightarrow {AM} + overrightarrow {MN} + overrightarrow {ND}$

$left( {overrightarrow {BM} + overrightarrow {AM} } right) + left( {overrightarrow {MN} + overrightarrow {MN} } right) + left( {overrightarrow {NC} + overrightarrow {ND} } right) = 2overrightarrow {MN}$

Mặt khác ta có: $overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} = 2overrightarrow {MN}$

Suy ra $overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} = overrightarrow {BC} + overrightarrow {AD}$

Bài 3 trang 97

Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định điểm M sao cho $overrightarrow {MA} + 4overrightarrow {MB} = overrightarrow 0$

Gợi ý đáp án

$overrightarrow {MA} + 4overrightarrow {MB} = overrightarrow 0 Leftrightarrow overrightarrow {MA} = - 4overrightarrow {MB} Rightarrow frac{{MA}}{{MB}}$

$= frac{{left| {overrightarrow {MA} } right|}}{{left| {overrightarrow {MB} } right|}} = frac{{left| { - 4overrightarrow {MB} } right|}}{{left| {overrightarrow {MB} } right|}} = 4 và hai vectơ overrightarrow {MA} ,overrightarrow {MB}$ ngược hướng

Suy ra M nằm giữa AB sao cho $frac{{MA}}{{MB}} = 4$

Bài 4 trang 97

Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, EF. Lấy điểm M tùy ý, chứng minh rằng $overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} + overrightarrow {MC} + overrightarrow {MD} = 4overrightarrow {MG}$

Gợi ý đáp án

$begin{array}{l}overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} + overrightarrow {MC} + overrightarrow {MD} = left( {overrightarrow {MG} + overrightarrow {GE} + overrightarrow {EA} } right) + left( {overrightarrow {MG} + overrightarrow {GE} + overrightarrow {EB} } right) + left( {overrightarrow {MG} + overrightarrow {GF} + overrightarrow {FC} } right)\ + left( {overrightarrow {MG} + overrightarrow {GF} + overrightarrow {FD} } right)end{array}$

$= left( {overrightarrow {MG} + overrightarrow {MG} + overrightarrow {MG} overrightarrow { + MG} } right) + 2left( {overrightarrow {GE} + overrightarrow {GF} } right) + left( {overrightarrow {EA} + overrightarrow {EB} } right) + left( {overrightarrow {FC} + overrightarrow {FD} } right)$

$= 4overrightarrow {MG} + 2.overrightarrow 0 + overrightarrow 0 + overrightarrow 0 = 4overrightarrow {MG}$ (đpcm)

Bài 5 trang 97

Máy bay A đang bay về hướng Đông Bắc với tốc độ 600 km/h. Cùng lúc đó, máy bay B đang bay về hướng Tây Nam với tốc độ 800 km/h. Biểu diễn vectơ vận tốc overrightarrow b của máy bay B theo vectơ vận tốc $overrightarrow a$ của máy bay A

Gợi ý đáp án

Vecto $overrightarrow a ,;overrightarrow b$ là vecto vận tốc của máy bay A và máy bay b.

Do đó $left| {overrightarrow a } right|,;left| {overrightarrow b } right|$ lần lượt là độ lớn của vecto vận tốc tương ứng.

Ta có: $left| {overrightarrow a } right| = 600,;left| {overrightarrow b } right| = 800$

$Rightarrow frac{{left| {overrightarrow b } right|}}{{left| {overrightarrow a } right|}} = frac{{800}}{{600}} = frac{4}{3}$

Hai hướng Đông Bắc và Tây Nam là ngược nhau, do đó $overrightarrow b = - frac{4}{3}overrightarrow a$

Bài 6 trang 97

Cho 2 điểm phân biệt A và B

a) Xác định điểm O sao cho $overrightarrow {OA} + 3overrightarrow {OB} = overrightarrow 0$

b) Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có $overrightarrow {MA} + 3overrightarrow {MB} = 4overrightarrow {MO}$

Gợi ý đáp án

$a) overrightarrow {OA} + 3overrightarrow {OB} = overrightarrow 0$

$begin{array}{l} overrightarrow {OA} + 3overrightarrow {OB} = vec 0\ Leftrightarrow overrightarrow {OB} + overrightarrow {BA} + 3overrightarrow {OB} = vec 0\ Leftrightarrow overrightarrow {OB} + 3overrightarrow {OB} = - overrightarrow {BA} \ Leftrightarrow 4overrightarrow {OB} = overrightarrow {AB} \ Leftrightarrow overrightarrow {OB} = frac{1}{4}overrightarrow {AB} end{array}$

Vậy O thuộc đoạn AB sao cho $OB = frac{1}{4}AB$

b) Ta có:

$begin{array}{l} overrightarrow {MA} + 3overrightarrow {MB} = left( {overrightarrow {MO} + overrightarrow {OA} } right) + 3left( {overrightarrow {MO} + overrightarrow {OB} } right)\ = left( {overrightarrow {MO} + 3overrightarrow {MO} } right) + left( {overrightarrow {OA} + 3overrightarrow {OB} } right)\ = 4overrightarrow {MO} + overrightarrow 0 = 4overrightarrow {MO} . (đpcm) end{array}$

Bài 7 trang 97

Cho tam giác ABC

a) Xác định các điểm M, N, P thỏa mãn: $overrightarrow {MB} = frac{1}{2}overrightarrow {BC} ,overrightarrow {AN} = 3overrightarrow {NB} ,overrightarrow {CP} = overrightarrow {PA}$

b) Biểu thị mỗi vectơ $overrightarrow {MN} ,overrightarrow {MP}$ theo hai vectơ $overrightarrow {BC} ,overrightarrow {BA}$

c) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng

Gợi ý đáp án

a) Ta có:

+) $overrightarrow {MB} = frac{1}{2}overrightarrow {BC} Rightarrow overrightarrow {MB}$ và $overrightarrow {BC}$ cùng hướng; tỉ số độ dài $frac{{BC}}{{MB}} = 2$

$Rightarrow M$ nằm ngoài đoạn thẳng BC sao cho $MB = frac{1}{2}BC$

$+) {overrightarrow {AN} = 3overrightarrow {NB} Rightarrow overrightarrow {AB} + overrightarrow {BN} = 3overrightarrow {NB} Rightarrow 4overrightarrow {NB} = overrightarrow {AB} Leftrightarrow overrightarrow {NB} = frac{1}{4}overrightarrow {AB} }$

$Rightarrow N$ thuộc đoạn thẳng AB và $NB=frac{{1}}{{4}} AB$

$+) overrightarrow {CP} = overrightarrow {PA} Leftrightarrow overrightarrow {PC} + overrightarrow {PA} = overrightarrow 0$

$Rightarrow P$ là trung điểm của CA

$b) overrightarrow {MN} = overrightarrow {MB} + overrightarrow {BN} = frac{1}{2}overrightarrow {BC} + frac{1}{4}overrightarrow {BA}$

$begin{array}{l}overrightarrow {MP} = overrightarrow {MC} + overrightarrow {CP} = overrightarrow {MC} + frac{1}{2}overrightarrow {CA} \= frac{3}{2}overrightarrow {BC} + frac{1}{2}left( {overrightarrow {BA} - overrightarrow {BC} } right)\ = overrightarrow {BC} + frac{1}{2}overrightarrow {BA} end{array}$

c) Ta có:

$overrightarrow {MN} = frac{1}{2}overrightarrow {BC} + frac{1}{4}overrightarrow {BA} ; overrightarrow {MP} = overrightarrow {BC} + frac{1}{2}overrightarrow {BA}$