Toán 10 Bài 2: Định lí Côsin và định lí Sin

thptnguyendinhchieu Tháng sáu 23, 2024

0 3 minutes read

Giải Toán 10 Bài 2: Định lí Côsin và định lí Sin sách Chân trời sáng tạo là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh lớp 10 có thêm nhiều gợi ý tham khảo, dễ dàng đối chiếu kết quả khi làm bài tập toán trang 72, 73.

Giải SGK Toán 10 Bài 2 trang 72, 73 Chân trời sáng tạo tập 1 được biên soạn chi tiết, bám sát nội dung trong sách giáo khoa. Mỗi bài toán đều được giải thích cụ thể, chi tiết. Qua đó giúp các em củng cố, khắc sâu thêm kiến thức đã học trong chương trình chính khóa; có thể tự học, tự kiểm tra được kết quả học tập của bản thân.

Bạn đang xem: Toán 10 Bài 2: Định lí Côsin và định lí Sin

Table of Contents

Giải Toán 10 trang 72, 73 Chân trời sáng tạo – Tập 1

Bài 1 trang 72

Tính độ dài cạnh x trong các tam giác sau:

Gợi ý đáp án

a) Áp dụng định lí cosin, ta có:

$begin{array}{l}{x^2} = 6,{5^2} + {5^2} - 2.6,5.5.cos {72^o} approx 47,16\ Leftrightarrow x approx 6,87end{array}$

b) Áp dụng định lí cosin, ta có:

$begin{array}{l}{x^2} = {left( {frac{1}{5}} right)^2} + {left( {frac{1}{3}} right)^2} - 2.frac{1}{5}.frac{1}{3}.cos {123^o} approx 0,224\ Leftrightarrow x approx 0,473end{array}$

Bài 2 trang 72

Tính độ dài cạnh c trong tam giác ABC ở Hình 14.

$frac{c}{{sin {{105}^o}}} = frac{{12}}{{sin {{35}^o}}}$

Gợi ý đáp án

Áp dụng định lí sin, ta có:

$frac{c}{{sin {{105}^o}}} = frac{{12}}{{sin {{35}^o}}} Rightarrow c = frac{{12.sin {{105}^o}}}{{sin {{35}^o}}} approx 3,37$

Bài 3 trang 72

Cho tam giác ABC, biết cạnh $a = 152,;widehat B = {79^o},;widehat C = {61^o}$ . Tính các góc, các cạnh còn lại và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.

Gợi ý đáp án

Đặt AB = c,AC = b,BC = a.

Ta có: $a = 152;widehat A = {180^o} - ({79^o} + {61^o}) = {40^o}$

Áp dụng định lí sin, ta có:

$frac{a}{{sin A}} = frac{b}{{sin B}} = frac{c}{{sin C}} = 2R$

Suy ra:

$begin{array}{l}AC = b = frac{{a.sin B}}{{sin A}} = frac{{152.sin {{79}^o}}}{{sin {{40}^o}}} approx 232,13\AB = c = frac{{a.sin C}}{{sin A}} = frac{{152.sin {{61}^o}}}{{sin {{40}^o}}} approx 206,82\R = frac{a}{{sin A}} = frac{{152}}{{sin {{40}^o}}} approx 236,47end{array}$

Bài 4 trang 73

Một công viên có dạng hình tam giác với các kích thước như Hình 15. Tính số đo các góc của tam giác đó.

Gợi ý đáp án

Đặt a = BC,b = AC,c = AB

Ta có: a = 800,b = 700,c = 500.

Áp dụng định lí cosin, ta có:

$cos A = frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};cos B = frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};cos C = frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}.$

Suy ra:

$begin{array}{l}cos A = frac{{{{700}^2} + {{500}^2} - {{800}^2}}}{{2.700.500}} = frac{1}{7} Rightarrow widehat A = {81^o}47'12,44'';\cos B = frac{{{{500}^2} + {{800}^2} - {{700}^2}}}{{2.500.800}} = frac{1}{2} Rightarrow widehat B = {60^o};\cos C = frac{{{{800}^2} + {{700}^2} - {{500}^2}}}{{2.800.700}} = frac{{11}}{{14}} Rightarrow widehat C = {38^o}12'47,56''.end{array}$

Vậy $widehat A = {81^o}47'12,44'';widehat B = {60^o};widehat C = {38^o}12'47,56''.$

Bài 5 trang 73

Tính diện tích một lá cờ hình tam giác cân có độ dài cạnh bên là 90 cm và góc ở đỉnh là ${35^o}.$

Gợi ý đáp án

Kí hiệu các điểm A, B, C như hình trên.

Từ giả thiết ta có: $AB = AC = 90,widehat A = {35^o}$

Áp dụng công thức $S = frac{1}{2}bcsin A$ , ta có: $S = frac{1}{2}.90.90.csin {35^o} approx 2323;(c{m^2})$

Bài 6 trang 73

Cho tam giác ABC có AB = 6,AC = 8 và $widehat A = {60^o}.$

a) Tính diện tích tam giác ABC.

b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính diện tích tam giác IBC.

Gợi ý đáp án

Đặt a = BC,b = AC,c = AB.

a) Áp dụng công thức $S = frac{1}{2}bcsin A, ta có: {S_{ABC}} = frac{1}{2}.8.6.sin {60^o} = frac{1}{2}.8.6.frac{{sqrt 3 }}{2} = 12sqrt 3$

b) Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta được:

$begin{array}{l}B{C^2} = {a^2} = {8^2} + {6^2} - 2.8.6.cos {60^o} = 52\ Rightarrow BC = 2sqrt {13} end{array}$

Xét tam giác IBC ta có:

Góc $widehat {BIC} = 2.widehat {BAC} = {120^o}$ (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung)

$IB = IC = R = frac{a}{{sin A}} = frac{{2sqrt {13} }}{{frac{{sqrt 3 }}{2}}} = frac{{4sqrt {39} }}{3}.$

$Rightarrow {S_{IBC}} = frac{1}{2}.frac{{4sqrt {39} }}{3}.frac{{4sqrt {39} }}{3}sin {120^o} = frac{{52sqrt 3 }}{3}.$

Bài 7 trang 73

Cho tam giác ABC có trọng tâm G và độ dài ba cạnh AB, BC, CA lần lượt là 15, 18, 27.

a) Tính diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

b) Tính diện tích tam giác GBC.

Gợi ý đáp án

a) Đặt a = BC,b = AC,c = AB.

Ta có: $p = frac{1}{2}(15 + 18 + 27) = 30$

Áp dụng công thức heron, ta có:

${S_{ABC}} = sqrt {30(30 - 15)(30 - 18)(30 - 27)} = 90sqrt 2$

Và $r = frac{S}{p} = frac{{90sqrt 2 }}{{30}} = 3sqrt 2$

b) Gọi, H, K lần lượt là chân đường cao hạ từ A và G xuống BC, M là trung điểm BC.

G là trọng tâm tam giác ABC nên $GM = frac{1}{3}AM$

$begin{array}{l} Rightarrow GK = frac{1}{3}.AH\ Rightarrow {S_{GBC}} = frac{1}{3}.,{S_{ABC}} = frac{1}{3}.90sqrt 2 = 30sqrt 2 .end{array}$

Xét tam giác IBC ta có:

Góc $widehat {BIC} = 2.widehat {BAC} = {120^o}$ (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung)

$IB = IC = R = frac{a}{{sin A}} = frac{{2sqrt {13} }}{{frac{{sqrt 3 }}{2}}} = frac{{4sqrt {39} }}{3}.$

$Rightarrow {S_{IBC}} = frac{1}{2}.frac{{4sqrt {39} }}{3}.frac{{4sqrt {39} }}{3}sin {120^o} = frac{{52sqrt 3 }}{3}.$

Bài 8 trang 73

Cho ${h_a}$ là đường cao vẽ từ đỉnh A, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh hệ thức: ${h_a} = 2Rsin Bsin C.$

Gợi ý đáp án

Đặt a = BC,b = AC,c = AB

Ta có: $sin C = frac{{AH}}{{AC}} = frac{{{h_a}}}{b} Rightarrow {h_a} = b.sin C$

Theo định lí sin, ta có: $frac{b}{{sin B}} = 2R Rightarrow b = 2R.sin B$

$Rightarrow {h_a} = 2R.sin B.sin C$

Bài 9 trang 73

Cho tam giác ABC có góc B nhọn, AD và CE là hai đường cao.

a) Chứng minh $frac{{{S_{BDE}}}}{{{S_{BAC}}}} = frac{{BD.BE}}{{BA.BC}}.$

b) Biết rằng ${S_{ABC}} = 9{S_{BDE}} và DE = 2sqrt 2$ . Tính $cos B$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gợi ý đáp án

a) Áp dụng công thức $S = frac{1}{2}ac.sin B$ cho tam giác ABC và BED, ta có:

${S_{ABC}} = frac{1}{2}.BA.BC.sin B;{S_{BED}} = frac{1}{2}..BE.BD.sin B$

$Rightarrow frac{{{S_{BED}}}}{{{S_{ABC}}}} = frac{{frac{1}{2}.BE.BD.sin B}}{{frac{1}{2}.BA.BC.sin B}} = frac{{BE.BD}}{{BA.BC}}$

b) Ta có: $cos B = frac{{BD}}{{BA}} = frac{{BE}}{{BC}}$

Mà $frac{{{S_{BED}}}}{{{S_{ABC}}}} = frac{1}{9} Rightarrow frac{{BD}}{{BA}}.frac{{BE}}{{BC}} = frac{1}{9}$

$Rightarrow cos B = frac{{BD}}{{BA}} = frac{{BE}}{{BC}} = frac{1}{3}$

+) Xét tam giác ABC và tam giác DEB ta có:

$frac{{BE}}{{BC}} = frac{{BD}}{{BA}} = frac{1}{3}$ và góc B chung

$Rightarrow Delta ABC sim Delta DEB (cgc)$

$Rightarrow frac{{DE}}{{AC}} = frac{1}{3} Rightarrow AC = 3.DE = 3.2sqrt 2 = 6sqrt 2 .$

Ta có: $cos B = frac{1}{3} Rightarrow sin B = sqrt {1 - {{left( {frac{1}{3}} right)}^2}} = frac{{2sqrt 2 }}{3}$ (do B là góc nhọn)

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$frac{{AC}}{{sin B}} = 2R Rightarrow R = frac{{6sqrt 2 }}{{frac{{2sqrt 2 }}{3}}}:2 = frac{9}{2}$

Bài 10 trang 73

Cho tứ giác lồi ABCD có các đường chéo AC = x,BD = y và góc giữa AC và BD bằng $alpha .$ Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD.

a) Chứng minh $S = frac{1}{2}xy.sin alpha$

b) Nêu kết quả trong trường hợp $AC bot BD.$

Gợi ý đáp án

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

a) Áp dụng công thức $S = frac{1}{2}ac.sin B$ , ta có:

$begin{array}{l}{S_{OAD}} = frac{1}{2}.OA.OD.sin alpha ;quad {S_{OBC}} = frac{1}{2}..OB.OC.sin alpha ;\{S_{OAB}} = frac{1}{2}.OA.OB.sin ({180^o} - alpha );quad {S_{OCD}} = frac{1}{2}.OD.OC.sin ({180^o} - alpha ).end{array}$

Mà $sin ({180^o} - alpha ) = sin alpha$

$Rightarrow {S_{OAB}} = frac{1}{2}.OA.OB.sin alpha ;quad {S_{OCD}} = frac{1}{2}.OD.OC.sin alpha .$

$begin{array}{l} Rightarrow {S_{ABCD}} = left( {{S_{OAD}} + {S_{OAB}}} right) + left( {{S_{OBC}} + {S_{OCD}}} right)\ = frac{1}{2}.OA.sin alpha .(OD + OB) + frac{1}{2}.OC.sin alpha .(OB + OD)\ = frac{1}{2}.OA.sin alpha .BD + frac{1}{2}.OC.sin alpha .BD\ = frac{1}{2}.BD.sin alpha .(OA + OC)\ = frac{1}{2}.AC.BD.sin alpha = frac{1}{2}.x.y.sin alpha .end{array}$