Tập nghiệm của bất phương trình

thptnguyendinhchieu Tháng sáu 23, 2024

0 5 minutes read

Tập nghiệm của bất phương trình là tài liêu vô cùng hữu ích mà THPT Nguyễn Đình Chiểu muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các em lớp 10 tham khảo.

Tài liệu tổng hợp toàn bộ kiến thức về lý thuyết và các dạng bài tập tìm tập nghiệm của bất phương trình có đáp án kèm theo. Qua đó giúp các em học sinh nhanh chóng nắm vững kiến thức để giải nhanh các bài Toán 10. Bên cạnh đó các bạn tham khảo thêm Công thức tính độ dài đường trung tuyến.

Bạn đang xem: Tập nghiệm của bất phương trình

Table of Contents

1. Tập nghiệm S của bất phương trình là gì?

Trước hết ta xét đến định nghĩa bất phương trình một ẩn

– Bất phương trình một ẩn là một mệnh đề chứa biến x so sánh hai hàm số f(x) và g(x) trên trường số thực dưới một trong các dạng

f(x) g(x); f(x) ≥ g(x); f(x) ≤ g(x)

– Giao của hai tập xác định của các hàm số f(x) và g(x) được gọi là tập xác định của bất phương trình.

– Nếu với giá trị x =a, f(a) > 0 là bất đẳng thức đúng thì ta nói rằng a nghiệm đúng bất phương trình f(x) > 0, hay a là nghiệm của bất phương trình.

Tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình được gọi là tập nghiệm hay lời giải của bất phương trình, đôi khi nó cũng được gọi là miền đúng của bất phương trình. Trong nhiều tài liệu người ta cũng gọi tập nghiệm của bất phương trình là nghiệm của bất phương trình.

Ví dụ Bất phương trình 4.x + 2 > 0 nghiệm đúng với mọi số thực x > -0.5. Tập nghiệm của bất phương trình là { x ∈ R | x > -0.5 } = (0.5; $infty$ )

Phân loại bất phương trình:

– Các bất phương trình đại số bậc k là các bất phương trình trong đó f(x) là đa thức bậc k.

– Các bất phương trình vô tỷ là các bất phương trình có chứa phép khai căn

– Các bất phương trình mũ là các bất phương trình có chứa hàm mũ (chứa biến trên lũy thừa.

– Các bất phương trình logarit là các bất phương trình có chứa hàm logarit (chứa biến trong dấu logarit).

2. Bài tập tìm tập nghiệm của bất phương trình

Bài tập 1: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 10x + 15″ width=”259″ height=”27″ data-latex=”sqrt {{x^2} – 5x – 6} + 2{x^2} > 10x + 15″ data-i=”1″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn/?tex=%5Csqrt%20%7B%7Bx%5E2%7D%20-%205x%20-%206%7D%20%20%2B%202%7Bx%5E2%7D%20%3E%2010x%20%2B%2015″>

Gợi ý đáp án

Điều kiện xác định: ${x^2} - 5x - 6 geqslant 0 Leftrightarrow x in left( { - infty ; - 1} right] cup left[ {6; + infty } right)$

Bất phương trình tương đương:
10x + 15 hfill \
Leftrightarrow sqrt {{x^2} – 5x – 6} > – 2{x^2} + 10x + 15 hfill \
Leftrightarrow sqrt {{x^2} – 5x – 6} > – 2left( {{x^2} – 5x – 6} right) + 3left( * right) hfill \
end{matrix}” width=”360″ height=”83″ data-latex=”begin{matrix}
sqrt {{x^2} – 5x – 6} + 2{x^2} > 10x + 15 hfill \
Leftrightarrow sqrt {{x^2} – 5x – 6} > – 2{x^2} + 10x + 15 hfill \
Leftrightarrow sqrt {{x^2} – 5x – 6} > – 2left( {{x^2} – 5x – 6} right) + 3left( * right) hfill \
end{matrix}” data-i=”3″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn/?tex=%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%20%20%5Csqrt%20%7B%7Bx%5E2%7D%20-%205x%20-%206%7D%20%20%2B%202%7Bx%5E2%7D%20%3E%2010x%20%2B%2015%20%5Chfill%20%5C%5C%0A%20%20%20%5CLeftrightarrow%20%5Csqrt%20%7B%7Bx%5E2%7D%20-%205x%20-%206%7D%20%20%3E%20%20-%202%7Bx%5E2%7D%20%2B%2010x%20%2B%2015%20%5Chfill%20%5C%5C%0A%20%20%20%5CLeftrightarrow%20%5Csqrt%20%7B%7Bx%5E2%7D%20-%205x%20-%206%7D%20%20%3E%20%20-%202%5Cleft(%20%7B%7Bx%5E2%7D%20-%205x%20-%206%7D%20%5Cright)%20%2B%203%5Cleft(%20*%20%5Cright)%20%5Chfill%20%5C%5C%20%0A%5Cend%7Bmatrix%7D”>
Đặt $sqrt {{x^2} - 5x - 6} = t;left( {t geqslant 0} right)$ (**)

– 2{t^2} + 3 hfill \
Leftrightarrow 2{t^2} + t – 3 > 0 hfill \
Leftrightarrow t in left( { – infty ; – dfrac{3}{2}} right] cup left[ {1; + infty } right) hfill \
end{matrix}” width=”238″ height=”101″ data-latex=”begin{matrix}
left( * right) Leftrightarrow t > – 2{t^2} + 3 hfill \
Leftrightarrow 2{t^2} + t – 3 > 0 hfill \
Leftrightarrow t in left( { – infty ; – dfrac{3}{2}} right] cup left[ {1; + infty } right) hfill \
end{matrix}” data-i=”5″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn/?tex=%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%20%20%5Cleft(%20*%20%5Cright)%20%5CLeftrightarrow%20t%20%3E%20%20-%202%7Bt%5E2%7D%20%2B%203%20%5Chfill%20%5C%5C%0A%20%20%20%5CLeftrightarrow%202%7Bt%5E2%7D%20%2B%20t%20-%203%20%3E%200%20%5Chfill%20%5C%5C%0A%20%20%20%5CLeftrightarrow%20t%20%5Cin%20%5Cleft(%20%7B%20-%20%5Cinfty%20%3B%20-%20%5Cdfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%20%5Cright%5D%20%5Ccup%20%5Cleft%5B%20%7B1%3B%20%2B%20%5Cinfty%20%7D%20%5Cright)%20%5Chfill%20%5C%5C%20%0A%5Cend%7Bmatrix%7D”>

Kết hợp với điều kiện (**) $Rightarrow t in left[ {1; + infty } right)$

$begin{matrix} Rightarrow sqrt {{x^2} - 5x - 6} geqslant 1 Leftrightarrow {x^2} - 5x - 6 geqslant 1 hfill \ Rightarrow x in left( { - infty ;dfrac{{5 - sqrt {53} }}{2}} right] cup left[ {dfrac{{5 + sqrt {53} }}{2}; + infty } right) hfill \ end{matrix}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $x in left( { - infty ;frac{{5 - sqrt {53} }}{2}} right] cup left[ {frac{{5 + sqrt {53} }}{2}; + infty } right)$

Bài tập 2: Tìm tập nghiệm của bất phương trình: $frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 6x + 8}} leqslant 0$

Gợi ý đáp án

Điều kiện xác định x² – 6x + 8 ≠ 0 ⟺ x ≠ 2, x ≠ 4

$frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 6x + 8}} leqslant 0 Leftrightarrow frac{{left( {x - 2} right)left( {x + 2} right)}}{{left( {x - 4} right)left( {x - 2} right)}} leqslant 0 Leftrightarrow frac{{x + 2}}{{x - 4}} leqslant 0$

Lập bảng xét dấu ta có:

Từ bảng xét dấu ta kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là: x ∈ [ -2 ; 4)

Bài tập 3: Giải bất phương trình: (x² + 3x + 1)(x² + 3x – 3) ≥ 5 (*)

Gợi ý đáp án

Tập xác định D = $mathbb{R}$

Đặt x² + 3x – 3 = t ⟹ x² + 3x + 1 = t + 4

Bất phương trình (*) ⟺ t(t+4) ≥ 5

⟺ t² + 4t – 5 ≥ 0

⟺ t ∈ ( -∞ ; -5] ∪ [1; +∞ )

$begin{matrix} Rightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + 3x - 3 leqslant - 5} \ {{x^2} + 3x - 3 geqslant 1} end{array}} right. Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + 3x + 2 leqslant 0} \ {{x^2} + 3x - 4 geqslant 0} end{array}} right. hfill \ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {x in left[ { - 2; - 1} right]} \ {x in left( { - infty - 4} right] cup left[ {1; + infty } right)} end{array}} right. Rightarrow x in left( { - infty - 4} right] cup left[ {1; + infty } right) hfill \ end{matrix}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ ( -∞ ; -4] ∪ [1; +∞ )

3. Bài tập tự luyện tìm tập nghiệm của bpt

Câu 1: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình x²– 4 > 0

A. S = (-2 ; 2).	B. S = (-∞ ; -2) ∪ (2; +∞)
C. S = (-∞ ; -2] ∪ [2; +∞)	D. S = (-∞ ; 0) ∪ (4; +∞)

Câu 2: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình x² – 4x + 4 > 0.

A. S = R	B. S = R{2}
C. S = (2; ∞)	D. S =R{-2}

Câu 3: Tập nghiệm S = (-4; 5) là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A. (x + 4)(x + 5) < 0	B. (x + 4)(5x – 25) ≥ 0
C. (x + 4)(x + 25) < 0	D. (x – 4)(x – 5) < 0

Câu 4: Cho biểu thức: f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) và ∆ = b² – 4ac. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?

A. Khi ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ $mathbb{R}$ .

B. Khi ∆ = 0 thì f(x) trái dấu với hệ số a với mọi $x ne frac{{ - b}}{{2a}}$ .

C. Khi ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi $x ne frac{{ - b}}{{2a}}$ .

D. Khi ∆ > 0 thì f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x ∈ $mathbb{R}$ .

Câu 5: Tìm tập nghiệm của bất phương trình: -x² + 2017x + 2018 > 0

A. S = [-1 ; 2018]	B. S = (-∞ ; -1) ∪ (2018; +∞)
C. S = (-∞ ; -1] ∪ [2018; +∞)	D. S = (-1 ; 2018)

Câu 6: Giải các bất phương trình sau:

a. 0″ width=”128″ height=”20″ data-latex=”4{x^2} – x + 1 > 0″ data-i=”18″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn/?tex=4%7Bx%5E2%7D%20-%20x%20%2B%201%20%3E%200″>	b. ${x^2} - x - 6 leqslant 0$
c. $- 3{x^2} + x + 4 geqslant 0$	d. $left( { - {x^2} + 3x - 2} right)left( {{x^2} - 5x + 6} right) geqslant 0$

Câu 7: Tìm tập nghiệm của các bất phương trình sau:

a. <img alt="frac{1}{{{x^2} – 4}} < frac{3}{{3{x^2} + x – 4}}" width="183" height="43" data-latex="frac{1}{{{x^2} – 4}}	b. – x” width=”150″ height=”45″ data-latex=”frac{{{x^2} + 3x – 1}}{{2 – x}} > – x” data-i=”23″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn/?tex=%5Cfrac%7B%7B%7Bx%5E2%7D%20%2B%203x%20-%201%7D%7D%7B%7B2%20-%20x%7D%7D%20%3E%20%20-%20x”>
c. frac{{4x – 47}}{{2x – 1}}” width=”161″ height=”42″ data-latex=”frac{{3x – 47}}{{3x – 1}} > frac{{4x – 47}}{{2x – 1}}” data-i=”24″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn/?tex=%5Cfrac%7B%7B3x%20-%2047%7D%7D%7B%7B3x%20-%201%7D%7D%20%3E%20%5Cfrac%7B%7B4x%20-%2047%7D%7D%7B%7B2x%20-%201%7D%7D”>	d. $x + frac{9}{{x + 2}} geqslant 4$
e. 0″ width=”125″ height=”45″ data-latex=”frac{{{x^2} + x + 2}}{{2x – 1}} > 0″ data-i=”26″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn/?tex=%5Cfrac%7B%7B%7Bx%5E2%7D%20%2B%20x%20%2B%202%7D%7D%7B%7B2x%20-%201%7D%7D%20%3E%200″>	f. 0″ width=”256″ height=”49″ data-latex=”frac{{left( {{x^2} – x + 3} right)left( {{x^2} – 3x + 2} right)}}{{{x^2} – 5x + 6}} > 0″ data-i=”27″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn/?tex=%5Cfrac%7B%7B%5Cleft(%20%7B%7Bx%5E2%7D%20-%20x%20%2B%203%7D%20%5Cright)%5Cleft(%20%7B%7Bx%5E2%7D%20-%203x%20%2B%202%7D%20%5Cright)%7D%7D%7B%7B%7Bx%5E2%7D%20-%205x%20%2B%206%7D%7D%20%3E%200″>