Toán 10 Bài tập cuối chương V – Chân trời sáng tạo

0 4 minutes read

Giải Toán 10 Bài tập cuối chương V giúp các em học sinh lớp 10 tham khảo, biết cách giải các bài tập trong SGK Toán 10 Tập 1 trang 102, 103 sách Chân trời sáng tạo.

Giải SGK Toán 10 Bài tập cuối chương 5 Vectơ sách Chân trời sáng tạo Tập 1 giúp các em học sinh nắm được cách trình bày, cách triển khai để giải được các bài tập từ bài 1 đến bài 9 trong sách giáo khoa. Từ đó các em học sinh tự bồi dưỡng và nâng cao kiến thức tự tin giải quyết tốt các bài tập. Đồng thời đây cũng là tư liệu hữu ích giúp thầy cô tham khảo để soạn giáo án cho riêng mình.

Bạn đang xem: Toán 10 Bài tập cuối chương V – Chân trời sáng tạo

Giải Toán 10 trang 102, 103 Chân trời sáng tạo – Tập 1

Bài 1 trang 102

Cho 3 vectơ $overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c$ đều khác vectơ $overrightarrow 0$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Nếu hai vectơ $overrightarrow a ,overrightarrow b$ cùng phương với $overrightarrow c thì overrightarrow a$ và $overrightarrow b$ cùng phương

b) Nếu hai vectơ $overrightarrow a ,overrightarrow b$ cùng ngược hướng với $overrightarrow c$ thì $overrightarrow a$ và $overrightarrow b$ cùng hướng

Gợi ý đáp án

+) Vectơ $overrightarrow a$ cùng phương với vectơ $overrightarrow c$ nên giá của vectơ $overrightarrow a$ song song với giá của vectơ $overrightarrow{c}$

+) Vectơ $overrightarrow b$ cùng phương với vectơ $overrightarrow c$ nên giá của vectơ $overrightarrow b$ song song với giá của vectơ $overrightarrow c$

Suy ra giá của vectơ $overrightarrow a$ và vectơ $overrightarrow b$ song song với nhau nên $overrightarrow a$ và $overrightarrow b$ cùng phương

Vậy khẳng định trên đúng

b) Giả sử vectơ $overrightarrow c$ có hướng từ A sang B

+) Vectơ $overrightarrow a$ ngược hướng với vectơ $overrightarrow c$ nên giá của vectơ $overrightarrow a$ song song với giá của vectơ $overrightarrow c$ và có hướng từ B sang A

+) Vectơ $overrightarrow b$ ngược hướng với vectơ $overrightarrow c$ nên giá của vectơ $overrightarrow b$ song song với giá của vectơ $overrightarrow c$ và có hướng từ B sang A

Suy ra, hai vectơ $overrightarrow a$ và $overrightarrow b$ cùng hướng

Vậy khẳng định trên đúng

Bài 2 trang 102

Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và AB = a, BC = 3a.

a) Tính độ dài các vectơ $overrightarrow {AC} ,overrightarrow {BD}$

b) Tìm trong hình ảnh vectơ đối nhau và có độ dài bằng $frac{{asqrt {10} }}{2}$

Gợi ý đáp án

a) Ta có:

$AC = BD = sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = sqrt {{a^2} + {{left( {3a} right)}^2}} = asqrt {10}$

$+) left| {overrightarrow {AC} } right| = AC = asqrt {10}$

$+) left| {overrightarrow {BD} } right| = BD = asqrt {10}$

b) O là giao điểm của hai đường chéo nên ta có:

$AO = OC = BO = OD = frac{{asqrt {10} }}{2}$

Dựa vào hình vẽ ta thấy AO và CO cùng nằm trên một đường thẳng; BO và DO cùng nằm trên một đường thẳng

Suy ra các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng $frac{{asqrt {10} }}{2}$ là:

$overrightarrow {OA} và overrightarrow {OC} ; overrightarrow {AO} và overrightarrow {CO} ; overrightarrow {OB} và overrightarrow {OD} ; overrightarrow {BO} và overrightarrow {DO}$

Bài 3 trang 102

Cho hình thoi ABCD đi có cạnh bằng a và có góc A bằng $60^circ$ . Tìm độ dài của các vectơ sau: $overrightarrow p = overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} ;overrightarrow u = overrightarrow {AB} - overrightarrow {AD} ;overrightarrow v = 2overrightarrow {AB} - overrightarrow {AC} .$

Gợi ý đáp án

+) ABCD là hình thoi nên cũng là hình bình hành

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:

$overrightarrow p = overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} = overrightarrow {AC}$

$+) overrightarrow u = overrightarrow {AB} - overrightarrow {AD} = overrightarrow {DB}$

$+) overrightarrow v = 2overrightarrow {AB} - overrightarrow {AC} = overrightarrow {AB} + left( {overrightarrow {AB} - overrightarrow {AC} } right) = overrightarrow {AB} + overrightarrow {CB} = overrightarrow {AB} + overrightarrow {DA} = overrightarrow {DB}$

Bài 4 trang 102

Cho hình bình hành ABCD hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Vẽ điểm E sao cho $overrightarrow {CE} = overrightarrow {AN}$ (hình 1)

a) Tìm tổng của các vectơ:

$overrightarrow {NC} và overrightarrow {MC} ; overrightarrow {AM} và overrightarrow {CD} ; overrightarrow {AD} và overrightarrow {NC}$

b) Tìm các vectơ hiệu:

$overrightarrow {NC} - overrightarrow {MC} ; overrightarrow {AC} - overrightarrow {BC} ; overrightarrow {AB} - overrightarrow {ME} .$

c) Chứng minh $overrightarrow {AM} + overrightarrow {AN} = overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD}$

Gợi ý đáp án

a) Ta có: $overrightarrow {CE} = overrightarrow {AN} Rightarrow CE//AN và CE = AN = ND = BM = MC$

Suy ra $overrightarrow {MC} = overrightarrow {CE}$

$+) overrightarrow {NC} + overrightarrow {MC} = overrightarrow {NC} + overrightarrow {CE} = overrightarrow {NE}$

+) ABCD là hình bình hành nên $overrightarrow {CD} = overrightarrow {BA}$

$overrightarrow {AM} + overrightarrow {CD} = overrightarrow {AM} + overrightarrow {BA} = overrightarrow {BM}$

+) Ta có $overrightarrow {MC} = overrightarrow {AN} Rightarrow AMCN$ là hình bình hành nên $overrightarrow {NC} = overrightarrow {AM}$

$overrightarrow {AD} + overrightarrow {NC} = overrightarrow {AD} + overrightarrow {AM} = overrightarrow {AE}$ (vì AMED là hình bình hành)

b) Ta có:

$+) overrightarrow {NC} - overrightarrow {MC} = overrightarrow {NC} + overrightarrow {CM} = overrightarrow {NM}$

$+) overrightarrow {AC} - overrightarrow {BC} = overrightarrow {AC} + overrightarrow {CB} = overrightarrow {AB}$

$+) overrightarrow {AB} - overrightarrow {ME} = overrightarrow {AB} - overrightarrow {AD} = overrightarrow {AB} + overrightarrow {DA} = overrightarrow {DB}$

c) Ta có:

$overrightarrow {AM} + overrightarrow {AN} = overrightarrow {AM} + overrightarrow {MC} = overrightarrow {AC}$

Áp dụng quy tắc hình bình hành vào hình bình hành ABCD ta có

$overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} = overrightarrow {AC}$

Từ đó suy ra $overrightarrow {AM} + overrightarrow {AN} = overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD}$ (đpcm)

Bài 5 trang 103

Cho $overrightarrow a ,overrightarrow b$ là hai vectơ khác vectơ overrightarrow 0 . Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng?

$a) left| {overrightarrow a + overrightarrow b } right| = left| {overrightarrow a } right| + left| {overrightarrow b } right|;$

$b) left| {overrightarrow a + overrightarrow b } right| = left| {overrightarrow a - overrightarrow b } right| .$

Gợi ý đáp án

$a) left| {overrightarrow a + overrightarrow b } right| = left| {overrightarrow a } right| + left| {overrightarrow b } right| Leftrightarrow {left| {overrightarrow a + overrightarrow b } right|^2} = {left( {left| {overrightarrow a } right| + left| {overrightarrow b } right|} right)^2}$

$Leftrightarrow {left( {overrightarrow a + overrightarrow b } right)^2} = {left( {left| {overrightarrow a } right| + left| {overrightarrow b } right|} right)^2} Leftrightarrow {left( {overrightarrow a } right)^2} + 2overrightarrow a .overrightarrow b + {left( {overrightarrow b } right)^2}$

$= {left| {overrightarrow a } right|^2} + 2.left| {overrightarrow a } right|.left| {overrightarrow b } right| + {left| {overrightarrow b } right|^2}$

$Leftrightarrow {left| {overrightarrow a } right|^2} + 2overrightarrow a .overrightarrow b + {left| {overrightarrow b } right|^2} = {left| {overrightarrow a } right|^2} + 2.left| {overrightarrow a } right|.left| {overrightarrow b } right| + {left| {overrightarrow b } right|^2}$

$Leftrightarrow 2overrightarrow a .overrightarrow b = 2left| {overrightarrow a } right|.left| {overrightarrow b } right|$

$Leftrightarrow 2left| {overrightarrow a } right|.left| {overrightarrow b } right|cos left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = 2left| {overrightarrow a } right|.left| {overrightarrow b } right|$

$Leftrightarrow cos left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = 1 Leftrightarrow left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = 0^circ$

Vậy $left| {overrightarrow a + overrightarrow b } right| = left| {overrightarrow a } right| + left| {overrightarrow b } right| Leftrightarrow overrightarrow a , ,overrightarrow b$ cùng hướng.

$b) left| {overrightarrow a + overrightarrow b } right| = left| {overrightarrow a - overrightarrow b } right| Leftrightarrow {left| {overrightarrow a + overrightarrow b } right|^2} = {left| {overrightarrow a - overrightarrow b } right|^2}$

$Leftrightarrow {left( {overrightarrow a + overrightarrow b } right)^2} = {left( {overrightarrow a - overrightarrow b } right)^2}$

$Leftrightarrow {left( {overrightarrow a } right)^2} + 2overrightarrow a .overrightarrow b + {left( {overrightarrow b } right)^2} = {left( {overrightarrow a } right)^2} - 2overrightarrow a .overrightarrow b + {left( {overrightarrow b } right)^2}$

$Leftrightarrow 2overrightarrow a .overrightarrow b = - 2overrightarrow a .overrightarrow b Leftrightarrow 4overrightarrow a .overrightarrow b = 0$

$Leftrightarrow overrightarrow a .overrightarrow b = 0 Leftrightarrow left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = 90^circ$

Vậy $left| {overrightarrow a + overrightarrow b } right| = left| {overrightarrow a - overrightarrow b } right| Leftrightarrow overrightarrow a ,overrightarrow b$ vuông góc với nhau.

Bài 6 trang 103

Cho $left| {overrightarrow a + overrightarrow b } right| = 0$ . So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ overrightarrow a và $overrightarrow b .$

Gợi ý đáp án

$left| {overrightarrow a + overrightarrow b } right| = 0 Leftrightarrow overrightarrow a + overrightarrow b = overrightarrow 0 Leftrightarrow overrightarrow a = - overrightarrow b$

$overrightarrow a = - overrightarrow b$ suy ra hai vectơ $overrightarrow a$ và $overrightarrow b$ là hai vecto đối nhau nên chúng cùng phương, ngược hướng và có độ dài bằng nhau.

Bài 7 trang 103

Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng $overrightarrow {AB} = overrightarrow {CD}$ khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Gợi ý đáp án

Với 4 điểm A, B, C, D ta có: $overrightarrow {AB} = overrightarrow {CD}$ khi và chỉ khi tứ giác ABDC là hình bình hành

Theo tính chất của hình bình hành thì giao điểm của hai đường chéo là trung điểm của mỗi đường và ngược lại.

Nói cách khác: trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 8 trang 103

Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng $overrightarrow {RJ} + overrightarrow {IQ} + overrightarrow {PS} = overrightarrow 0$ .

Gợi ý đáp án

$overrightarrow {RJ} + overrightarrow {IQ} + overrightarrow {PS} = left( {overrightarrow {RA} + overrightarrow {AJ} } right) + left( {overrightarrow {IB} + overrightarrow {BQ} } right) + left( {overrightarrow {PC} + overrightarrow {CS} } right)$

$= left( {overrightarrow {RA} + overrightarrow {CS} } right) + left( {overrightarrow {AJ} + overrightarrow {IB} } right) + left( {overrightarrow {BQ} + overrightarrow {PC} } right) = overrightarrow 0 + overrightarrow 0 + overrightarrow 0 = overrightarrow 0$ (đpcm)

Bài 9 trang 103

Một chiếc máy bay được biết là đang bay về phía Bắc với tốc độ 45m/s, mặc dù vận tốc của nó so với mặt đất là 38 m/s theo hướng nghiêng một góc $20^circ$ về phía tây bắc (hình 2). Tính tốc độ của gió

Gợi ý đáp án

Từ giả thiết ta có:

+) Vectơ tương ứng với vận tốc máy bay là vectơ $overrightarrow {{v_1}}$

+) Vectơ tương ứng với vận tốc máy bay so với mặt đất là vectơ $overrightarrow v$

+) Vectơ tương ứng với vận tốc gió là vectơ $overrightarrow {{v_2}}$

Ta có : $left| {overrightarrow {{v_1}} } right| = 45;left| {overrightarrow v } right| = 38;left( {overrightarrow {{v_1}} ,overrightarrow v } right) = 20^circ$

Áp dụng định lý cosin ta có:

$left| {overrightarrow {{v_2}} } right| = sqrt {{{left| {overrightarrow v } right|}^2} + {{left| {overrightarrow {{v_1}} } right|}^2} - 2left| {overrightarrow v } right|.left| {overrightarrow {{v_1}} } right|.cos left( {overrightarrow v ,overrightarrow {{v_1}} } right)}$