Lớp 10

Toán 10 Bài tập cuối chương IX – Chân trời sáng tạo

Giải Toán 10 Bài tập cuối chương IX giúp các em học sinh lớp 10 tham khảo, biết cách giải các bài tập trong SGK Toán 10 Tập 2 trang 73 sách Chân trời sáng tạo.

Giải SGK Toán 10 Bài tập cuối chương 9 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng sách Chân trời sáng tạo Tập 2 giúp các em học sinh nắm được cách trình bày, cách triển khai để giải được các bài tập từ bài 1 đến bài 9 trong sách giáo khoa. Từ đó các em học sinh tự bồi dưỡng và nâng cao kiến thức tự tin giải quyết tốt các bài tập. Đồng thời đây cũng là tư liệu hữu ích giúp thầy cô tham khảo để soạn giáo án cho riêng mình.

Bạn đang xem: Toán 10 Bài tập cuối chương IX – Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 73

Trong mặt phẳng Oxy, cho bốn điểm A(2; 1), B(1; 4), C(4; 5), D(5; 2).

a. Chứng minh ABCD là hình vuông.

b. Tìm tọa độ tâm I của hình vuông ABCD.

Gợi ý đáp án

a. Ta có:vec{AB} = (-1; 3), vec{DC} = (-1; 3) Rightarrow vec{AB} = vec{DC}

Rightarrow ABCD là hình bình hành.

Lại có:vec{AD} = (3; 1) Rightarrow vec{AB}. vec{AD} = -1. 3 + 3. 1 = 0

Rightarrow vec{AB} perp vec{AD} hay AB perp AD

RightarrowHình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Ta có: AD = |vec{AD}| = sqrt{3^{2} + 1^{2}} = sqrt{10}

AB = |vec{AB}| = sqrt{(-1)^{2} + 3^{2}} = sqrt{10}

Rightarrow AB = AD RightarrowHình chữ nhật ABCD là hình vuông (đpcm).

b. Tâm I của hình vuông ABCD là trung điểm của AC Rightarrow I = (frac{2 + 4}{2}; frac{1+5}{2}) Leftrightarrow I = (3; 3)

Vậy I = (3; 3).

Bài 2 trang 73

Cho AB và CD là dây cung vuông góc tại E của đường tròn (O). Vẽ hình chữ nhật AECF. Dùng phương pháp tọa độ để chứng minh EF vuông góc với DB.

Gợi ý đáp án

Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ. A(a; 0), B(b; 0), C(0; c), D(0; d). Hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau tại E (trùng với gốc tọa độ O).

Vì ACEF là hình chữ nhật nên F(a; c).

Gọi I là tâm đường tròn (O), K và H lần lượt là chân đường cao hạ từ I tới AB, CD.

Rightarrow K là trung điểm của AB Rightarrow K = (frac{a + b}{2}; 0)

H là trung điểm của CD Rightarrow H = (0; frac{c + d}{2})

Rightarrow I = (frac{a + b}{2}; frac{c + d}{2})

Ta có: vec{IA} = (a - frac{a + b}{2}; -frac{c + d}{2}) = (frac{a - b}{2}; -frac{c + d}{2})

vec{IC} = ( -frac{a + b}{2}; c - frac{c + d}{2}) = (-frac{a + b}{2}; frac{c - d}{2}

IA = IC (=R) Rightarrow (frac{a - b}{2})^{2} + (-frac{c + d}{2})^{2} = (-frac{a + b}{2})^{2} + (frac{c - d}{2})^{2}

Leftrightarrow (a - b)^{2} + (c + d)^{2} = (a + b)^{2} + (c - d)^{2}

Leftrightarrow a^{2} - 2ab + b^{2} + c^{2} + 2cd + d^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} + c^{2} - 2cd + d^{2}

Leftrightarrow 4ab = 4cd Leftrightarrow ab = cd Leftrightarrow ab - cd = 0

Rightarrow vec{EF}. vec{BD} = (-a).(-b) - c.d = ab - cd = 0 (chứng minh trên)

Rightarrow vec{EF} perp vec{BD} hay EF perp BD (đpcm).

Bài 3 trang 73

Tìm tọa độ giao điểm và góc giữa hai đường thẳng d_{1}d_{2} trong mỗi trường hợp sau:

a.d_{1}: x - y + 2 = 0d_{2}: x + y + 4 = 0;

b. d_{1}: left{begin{matrix}x = 1 + t\y = 3 + 2t end{matrix}right.d_{2}: x - 3y + 2 = 0;

c. d_{1}: left{begin{matrix}x = 2 - t\y = 5 + 3t end{matrix}right. và d_{2}: left{begin{matrix}x = 1 + 3t'\3 + 1t' end{matrix}right.

Gợi ý đáp án

a. Đường thẳng d_{1}d_{2} có vectơ pháp tuyến lần lượt là vec{n_{1}} = (1; -1) và vec{n_{2}} = (1; 1).

Ta có:vec{n_{1}}. vec{n_{2}} = 1. 1 + (-1). 1 = 0 nên vec{n_{1}} và vec{n_{2}} là hai vectơ vuông góc Rightarrow d_{1} perp d_{2} Rightarrow (d_{1}, d_{2}) = 90^{circ}.

Giao điểm M của d_{1}d_{2} là nghiệm của hệ phương trình:

left{begin{matrix}x - y + 2 = 0\x + y + 4 = 0 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix}x = -3 \y = -1end{matrix}right.

Vậy d_{1}d_{2}vuông góc và cắt nhau tại M(-3; -1).

b. Ta có: vec{u_{1}} = (1; 2) là vectơ chỉ phương của d_{1} Rightarrow vec{n_{1}} = (2; -1) là vectơ pháp tuyến của d_{1}.

Phương trình tổng quát của d_1 đi qua điểm A(1; 3) và nhậnvec{n_{1}} = (2; -1) làm vectơ pháp tuyến là: 2(x - 1) - (y - 3) = 0 Leftrightarrow 2x - y + 1 = 0

Đường thẳng d_{2} có vectơ pháp tuyến là vec{n_{2}} = (1; -3)

Ta có: frac{2}{1} neq frac{-1}{-3} Rightarrow vec{n_{1}}vec{n_{2}} là hai vectơ không cùng phương.

Rightarrow d_{1} và d_{2} cắt nhau. Giao điểm M của d_{1}d_{2} là nghiệm của hệ phương trình:

left{begin{matrix}2x - y + 1 = 0\x - 3y + 2 = 0end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix}x = frac{-1}{5}\y = frac{3}{5}end{matrix}right.

Ta có: cos(d_{1}, d_{2}) = frac{|2. 1 + (-1). (-3)|}{sqrt{2^{2} + (-1)^{2}}.sqrt{1^{2} + (-3)^{2}}} = frac{sqrt{2}}{2} Rightarrow (d_{1}, d_{2}) = 45^{circ}

Vậy d_{1} cắt d_{2} tại điểm M(frac{-1}{5}; frac{3}{5}) và (d_{1}, d_{2}) = 45^{circ}.

c. Phương trình tổng quát của d_{1} và d_{2}lần lượt là:

d_{1}: 3x + y - 11 = 0 và d_{2}: x - 3y + 8 = 0

Ta có: vec{n_{1}}. vec{n_{2}} = 3. 1 + 1. (-3) = 0 Rightarrow vec{n_{1}} perp vec{n_{2}} hay d_{1} perp d_{2} Rightarrow (d_{1}, d_{2}) = 90^{circ}.

Giao điểm M của đường thẳng d_{1}d_{2} là nghiệm của hệ phương trình:

left{begin{matrix}3x + y - 11 = 0\x - 3y + 8 = 0end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix}x = frac{5}{2}\y = frac{7}{2}end{matrix}right.

Vậy d_{1}d_{2}vuông góc và cắt nhau tại M(frac{5}{2}; frac{7}{2}).

Bài 4 trang 73

Tính bán kính của đường tròn tâm M(-2; 3) và tiếp xúc với đường thẳng:

Gợi ý đáp án

d: 14x – 5y + 60 = 0

Ta có: R = d(M; d) = frac{|14. (-2) - 5. 3 + 60|}{sqrt{14^{2} + (-5)^{2}}} = frac{sqrt{221}}{13}

Bài 5 trang 73

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

Delta': 3x + 4y - 27 = 0

Gợi ý đáp án

Ta có: frac{6}{3} = frac{8}{4} neq frac{-13}{-27} Rightarrow Delta // Delta'

Lấy điểm A(0; frac{13}{8}) in Delta.

Ta có: d(Delta, Delta') = d(A; Delta') = frac{|4.frac{13}{8}-27|}{sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = frac{41}{10}

Bài 6 trang 73

Tìm tâm và bán kính của các đường tròn có phương trình:

a. (x - 2)^{2} + (y - 7)^{2} = 64;

b. (x + 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 8;

c. x^{2} + y^{2} - 4x - 6y - 12 = 0.

Gợi ý đáp án

a. Phương trình đường tròn có dạng (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}

Rightarrow Đường tròn có tâm I(2; 7) và bán kính R = 8.

b. Phương trình đường tròn có dạng (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}

Rightarrow Đường tròn có tâm I(-3; -2) và bán kính R = 2sqrt{2}.

c. Phương trình có dạng x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0 với a = 2, b = 3, c = -12

Ta có: a^{2} + b^{2} - c = 2^{2} + 3^{2} + 12 = 25

Vậy đường tròn có tâm I(2; 3) và bán kính R = sqrt{25} = 5.

Bài 7 trang 73

Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:

a. Có tâm I(-2; 4) và bán kính bằng 9;

b. Có tâm I(1; 2) và đi qua điểm A(4; 5);

c. Đi qua hai điểm A(4; 1), B(6; 5) và có tâm nằm trên đường thẳng 4x + y -16 = 0;

d. Đi qua gốc tọa độ và cắt hai trục tọa độ tại các điểm có hoành độ là a, tung độ là b.

Gợi ý đáp án

a. Phương trình đường tròn có tâm I(-2; 4) và bán kính R = 4 là:

(x + 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 16

b. Ta có R = IA = sqrt{(4 - 1)^{2} + (5 - 2)^{2}} = 3sqrt{2}

Phương trình đường tròn có tâm I(1; 2) và bán kính R = 3sqrt{2} là:

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 18

c. Phương trình đường tròn tâm I(a; b) có dạng: x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0

Vì I(a; b) thuộc đường thẳng 4x + y – 16 = 0 và các điểm A(4; 1), B(6; 5) thuộc đường tròn nên ta có hệ phương trình sau:

left{begin{matrix}4a + b - 16 = 0\4^{2} + 1^{2} - 8a-2b +c = 0\ 6^{2} + 5^{2} - 12a - 10b + c = 0end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix}4a + b - 16 = 0\ 8a+2b -c = 17\ 12a + 10b - c = 61end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix}a = 3\b = 4 \ c = 15end{matrix}right.

Vậy phương trình đường tròn là: x^{2} + y^{2} - 6x - 8y + 15 = 0

d. Phương trình đường tròn (C) tâm I(m; n) có dạng:x^{2} + y^{2} - 2mx - 2ny + c = 0

Vì O(0;0) in (C) nên thay tọa độ O(0; 0) vào (C) ta được c = 0

Vì (C) cắt trục hoành tại điểm có tọa độ (a; 0) và cắt trục tung tại điểm có tọa độ (0; b) nên ta có:

left{begin{matrix}a^{2} - 2ma = 0\b^{2} - 2nb = 0end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} m = frac{a}{2}\n = frac{b}{2}end{matrix}right. (vì a neq 0, bneq 0)

Vậy phương trình đường tròn (C) là:x^{2} + y^{2} - ax - by = 0

Bài 8 trang 73

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x - 5)^{2} + (y - 3)^{2} = 100 tại điểm M(11; 11)

Gợi ý đáp án

Ta có: (C) có tâm I(5; 3).

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại M(11; 11) là:

(5 - 11)(x - 11) + (3 - 11)(y - 11) = 0

Leftrightarrow -6x - 8y + 154 = 0

Leftrightarrow 3x + 4y - 77 = 0

Bài 9 trang 73

Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục lớn và trục nhỏ của các elip sau:

a. frac{x^{2}}{100} + frac{y^{2}}{36} = 1;

b. frac{x^{2}}{25} + frac{y^{2}}{16} = 1;

c. x^{2} + 16y^{2} = 16

Gợi ý đáp án

a. (E): frac{x^{2}}{100} + frac{y^{2}}{36} = 1

Phương trình elip (E) có dạng: frac{x^{2}}{a^{2}} + frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

Rightarrow a = 10; b = 6 Rightarrow c = sqrt{a^{2} - b^{2}} = sqrt{10^{2} - 6^{2}} = 8

Rightarrow Tọa độ các tiêu điểm là: (-8; 0) và (8; 0)

Tọa độ các đỉnh là: (-10; 0), (10; 0), (0; -6); (0; 6)

Độ dài trục lớn bằng 2a = 2. 10 = 20; độ dài trục nhỏ bằng 2b = 2. 6 = 12.

b. (E): frac{x^{2}}{25} + frac{y^{2}}{16} = 1

Phương trình elip (E) có dạng: frac{x^{2}}{a^{2}} + frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

Rightarrow a = 5; b = 4 Rightarrow c = sqrt{a^{2} - b^{2}} = sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3

RightarrowTọa độ các tiêu điểm là: (-3; 0) và (3; 0)

Tọa độ các đỉnh là: (-5; 0), (5; 0), (0; -4); (0; 4)

Độ dài trục lớn bằng 2a = 2. 5 = 10; độ dài trục nhỏ bằng 2b = 2. 4 = 8.

c. Ta có:x^{2} + 16y^{2} = 16 Leftrightarrow frac{x^{2}}{16} + y^{2} = 1

Phương trình elip (E) có dạng:frac{x^{2}}{a^{2}} + frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

Rightarrow a = 4; b = 1 Rightarrow c = sqrt{a^{2} - b^{2}} = sqrt{4^{2} - 1^{2}} = sqrt{15}

Rightarrow Tọa độ các tiêu điểm là:(-sqrt{15}; 0) và (sqrt{15}; 0)

Tọa độ các đỉnh là: (-4; 0), (4; 0), (0; -1); (0; 1)

Độ dài trục lớn bằng 2a = 2. 4 = 8; độ dài trục nhỏ bằng 2b = 2. 1 = 2.

Đăng bởi: THPT Nguyễn Đình Chiểu

Chuyên mục: Tài Liệu Lớp 10

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!