Toán 10 Bài 1: Tọa độ của vectơ

thptnguyendinhchieu Tháng Bảy 2, 2022

0 4 phút

Giải Toán 10 Bài 1: Tọa độ của vectơ sách Chân trời sáng tạo là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh lớp 10 có thêm nhiều gợi ý tham khảo, dễ dàng đối chiếu kết quả khi làm bài tập toán trang 44, 45 tập 2.

Giải SGK Toán 10 Bài 1 trang 44, 45 Chân trời sáng tạo tập 2 được biên soạn chi tiết, bám sát nội dung trong sách giáo khoa. Mỗi bài toán đều được giải thích cụ thể, chi tiết. Qua đó giúp các em củng cố, khắc sâu thêm kiến thức đã học trong chương trình chính khóa; có thể tự học, tự kiểm tra được kết quả học tập của bản thân.

Bạn đang xem: Toán 10 Bài 1: Tọa độ của vectơ

Giải Toán 10 trang 44, 45 Chân trời sáng tạo – Tập 2

Bài 1 trang 44

Bài tập 1. Trên trục (O; $vec{e})$ cho các điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là 4; -1; -5; 0.

a. Vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho lên trên trục đó.

b. Hai vectơ $vec{AB}$ và $vec{CD}$ cùng hướng hay ngược hướng.

Gợi ý đáp án

b. Hai vectơ $vec{AB}$ và $vec{CD}$ ngược hướng nhau.

Bài 2 trang 45

Chứng minh rằng:

a. $vec{a}$ = (4; -6) và $vec{b}$ = (-2; 3) là hai vectơ ngược hướng.

b. $vec{a}$ = (-2; 3) và $vec{b}$ = (-8; 12) là hai vectơ cùng hướng.

c. $vec{a}$ = (0; 4) và $vec{b}$ = (0; -4) là hai vectơ đối nhau.

Gợi ý đáp án

a. Nhận thấy: $vec{a} = -2vec{b} Rightarrow vec{a} và vec{b}$ ngược hướng.

b. Nhận thấy: $vec{a} = 4vec{b} Rightarrow vec{a} và vec{b}$ cùng hướng.

c. Ta có: $|vec{a}| = sqrt{0^{2} + 4^{2}} = 4; |vec{b}| = sqrt{0^{2} + (-4)^{2}} = 4$

Nhận thấy: $vec{a} = -vec{b} mà |vec{a}| = |vec{b}| = 4$

$Rightarrow vec{a}$ và $vec{b}$ là hai vectơ đối nhau.

Bài 3 trang 45

Tìm tọa độ các vectơ sau:

$a. vec{a} = 2vec{i} + 7vec{j};$

$b.vec{b}=-vec{i}+3vec{j};$

$c. vec{c} = 4vec{i};$

$d. vec{d} = -9vec{j}.$

Gợi ý đáp án

$a. vec{a} = (2; 7);$

$b. vec{b} = (-1; 3);$

$c. vec{c} = (4; 0);$

$d. vec{d} = (0; -9)$

Bài 4 trang 45

Cho bốn điểm A(3; 5), B(4; 0), C(0; -3), D(2; 2). Trong các điểm đã cho, hãy tìm điểm:

a. Thuộc trục hoành;

b. Thuộc trục tung;

c. Thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

Gợi ý đáp án

a. Điểm B(4; 0) thuộc trục hoành.

b. Điểm C(0; -3) thuộc trục tung.

c. Điểm D(2; 2) thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

Bài 5 trang 45

Cho điểm $M(x_{0}; y_{0})$ . Tìm tọa độ:

a. Điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Ox;

b. Điểm M’ đối xứng với M qua trục Ox;

c. Điểm K là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy;

d. Điểm M” đối xứng với M qua trục Oy.

e. Điểm C đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ.

Gợi ý đáp án

a. $H(x_{0}; 0)$

b. M’ đối xứng với M qua trục $Ox Rightarrow H$ là trung điểm của MM’

$Rightarrow left{begin{matrix}x_{M'} = 2x_{H} - x_{M}\ y_{M'} = 2y_{H} - y_{M}end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix}x_{M'} = 2x_{0} - x_{0}\ y_{M'} = 2.0 - y_{0}end{matrix}right. left{begin{matrix}x_{M'} = x_{0}\ y_{M'} = - y_{0}end{matrix}right.$

Vậy $M'(x_{0}; -y_{0}).$

c. $K(0; y_{0})$

d. M” đối xứng với M qua trục Oy $Rightarrow K$ là trung điểm của MM”

$Rightarrow left{begin{matrix}x_{M''} = 2x_{K} - x_{M}\ y_{M''} = 2y_{K} - y_{M}end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix}x_{M''} = 2.0 - x_{0}\ y_{M''} = 2.y_{0} - y_{0}end{matrix}right. left{begin{matrix}x_{M''} = -x_{0}\ y_{M'} = y_{0}end{matrix}right.$

Vậy $M''(-x_{0}; y_{0})$ .

e. C đối xứng với M qua gốc tọa độ O nên O là trung điểm của CM.

$Rightarrow left{begin{matrix}x_{C} = 2x_{O} - x_{M}\ y_{C} = 2y_{O} - y_{M}end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix}x_{C} = 2.0 - x_{0}\ y_{C} = 2.0 - y_{0}end{matrix}right. left{begin{matrix}x_{C} = -x_{0}\ y_{M'} = -y_{0}end{matrix}right.$

Vậy $C(-x_{0}; -y_{0}).$

Bài 6 trang 45

Cho ba điểm A(2; 2); B(3; 5), C(5; 5).

a. Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

b. Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành.

c. Giải tam giác ABC.

Gợi ý đáp án

a. Xét D(x; y). Ta có: $vec{AB} = (1; 3); vec{DC} = (5 - x; 5 - y)$

Để ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi $vec{AB} = vec{DC}$

$Leftrightarrow left{begin{matrix}5 - x = 1\ 5 - y = 3end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} x = 4\ y = 2end{matrix}right.$

Vậy D(4; 2)

b. Gọi M là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD.

$Rightarrow left{begin{matrix}x_{M}= frac{x_{A} + x_{C}}{2}\ y_{M} = frac{y_{A}+y_{C}}{2}end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix}x_{M}= frac{2 + 5}{2}\ y_{M} = frac{2+5}{2}end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix}x_{M}= frac{7}{2}\ y_{M} = frac{7}{2}end{matrix}right.$

Vậy $M(frac{7}{2}; frac{7}{2})$

c. Ta có: $vec{AC} = (3; 3), vec{BC} = (2; 0)$

Suy ra: $AB = |vec{AB}| = sqrt{1^{2} + 3^{2}} = sqrt{10}$

$AC = |vec{AC}| = sqrt{3^{2} + 3^{2}} = 3sqrt{2}$

$BC = |vec{BC}| = sqrt{2^{2} + 0^{2}} = 2$

$cosA = cos(vec{AB},vec{AC}) = frac{vec{AB}.vec{AC}}{AB.AC} = frac{1.3+3.3}{sqrt{10}.3sqrt{2}} = frac{2sqrt{5}}{5} Rightarrow widehat{A} approx 26^{circ}34'$

$cosB = cos(vec{BA},vec{BC}) = frac{vec{BA}.vec{BC}}{BA.BC} = frac{(-1).2+(-3).0}{sqrt{10}.2} = frac{-sqrt{10}}{10} Rightarrow widehat{B} approx 108^{circ}26'$

$cosC = cos(vec{CA},vec{CB}) = frac{vec{CA}.vec{CB}}{CA.CB} = frac{(-3).(-2)+(-3).0}{3sqrt{2}.2} = frac{sqrt{2}}{2}$

Bài 7 trang 45

Cho tam giác ABC có các điểm M(2; 2), N(3; 4), P(5; 3) lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và CA.

a. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

b. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC và MNP trùng nhau.

c. Giải tam giác ABC

Gợi ý đáp án

$a. vec{MP} = (3; 1) vec{BN} = (3 - x_{B}; 4 - y_{B})$

Có M là trung điểm cạnh AB, P là trung điểm cạnh AC nên MP là đường trung bình của tam giác ABC

$Rightarrow MP // BC và MP = frac{1}{2}BC = BN Rightarrow MPNB$ là hình bình hành

$Rightarrow vec{MP} = vec{BN}$

$Rightarrow left{begin{matrix}3 = 3 - x_{B}\ 1 = 4 - y_{B}end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix}x_{B}= 0\ y_{B} = 3end{matrix}right. Rightarrow B(0; 3)$

Ta có: N là trung điểm của BC nên $left{begin{matrix}x_{C}= 2x_{N} - x_{B}\ y_{C} = 2y_{N} - y_{B}end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix}x_{C} = 2.3 - 0\ y_{C} = 2.4-3 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix}x_{C}= 6\ y_{C} = 5 end{matrix}right.$

$Rightarrow C(6; 5)$

Ta có: M là trung điểm của AB nên $left{begin{matrix}x_{A}= 2x_{M} - x_{B}\ y_{A} = 2y_{M} - y_{B}end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix}x_{A} = 2.2 - 0\ y_{A} = 2.2-3 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix}x_{A}= 4\ y_{A} = 1 end{matrix}right.$

$Rightarrow A(4; 1)$

Vậy A(4;1), B(0; 3), C(6; 5)

b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có:

$left{begin{matrix}x_{G}= frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}\ y_{G} = frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix}x_{G}= frac{4+0+6}{3}\ y_{G} = frac{1+3+5}{3}end{matrix}right. left{begin{matrix}x_{G}= frac{10}{3}\ y_{G} =3end{matrix}right. Rightarrow G(frac{10}{3}; 3) (1)$

Gọi G’ là trọng tâm tam giác MNP, ta có:

$left{begin{matrix}x_{G'}= frac{x_{M} + x_{N} + x_{P}}{3}\ y_{G'} = frac{y_{M} + y_{N} + y_{P}}{3}end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix}x_{G'}= frac{2+3+5}{3}\ y_{G'} = frac{2+4+3}{3}end{matrix}right. left{begin{matrix}x_{G'}= frac{10}{3}\ y_{G'} =3end{matrix}right. Rightarrow G'(frac{10}{3}; 3) (2)$

Từ (1) và (2) $Rightarrow G equiv G'$

Vậy trọng tâm tam giác ABC trùng với trọng tâm tam giác MNP.

c. Ta có $: vec{AB} = (-4; 2); vec{AC} = (2; 4); vec{BC} = (6; 2)$

Suy ra: $AB = |vec{AB}| = sqrt{(-4)^{2} + 2^{2}} = 2sqrt{5}$

$AC = |vec{AC}| = sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2sqrt{5}$

$BC = |vec{BC}| = sqrt{6^{2} + 2^{2}} = 2sqrt{10}$

$cosA = cos(vec{AB}, vec{AC}) = frac{vec{AB}. vec{AC}}{AB.AC} = frac{(-4). 2 + 2.4}{2sqrt{5}. 2sqrt{5}} = 0 Rightarrow widehat{A} = 90^{circ}$

Xét tam giác ABC có $AB = AC (= 2sqrt{5}) và widehat{A} = 90^{circ}$

$Rightarrow$ Tam giác ABC vuông cân tại A $Rightarrow widehat{B} = widehat{C} = 45^{circ}$

Bài 8 trang 45

Cho hai điểm A(1; 3), B(4; 2).

a. Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB

b. Tính chu vi tam giác OAB.

c. Chứng minh rằng OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB.

Gợi ý đáp án

a. D nằm trên trục Ox nên D(x; 0) $Rightarrow vec{AD} = (x - 1; -3); vec{BD} = (x - 4; -2)$

Ta có: $DA = DB Rightarrow (x - 1)^{2} + (-3)^{2} = (x - 4)^{2} + (-2)^{2}$

$Leftrightarrow x^{2} - 2x + 1 + 9 = x^{2} - 8x + 16 + 4 Leftrightarrow 6x = 10 Leftrightarrow x = frac{5}{3}$

Vậy $D(frac{5}{3};0)$

b. Ta có: $vec{OA} = (1; 3); vec{OB} = (4; 2); vec{AB} = (3; -1)$

Suy ra: $OA = |vec{OA}| = sqrt{1^{2} + 3^{2}} = sqrt{10}$

$OB = |vec{OB}| = sqrt{4^{2} + 2^{2}} = 2sqrt{5}$

$AB = |vec{AB}| = sqrt{3^{2} + (-1)^{2}} = sqrt{10}$

$Rightarrow$ Chu vi tam giác OAB là: $OA + OB + AB = sqrt{10} + 2sqrt{5} + sqrt{10} = 2sqrt{10} + 2sqrt{5}$

c. Ta có: $vec{OA}.vec{AB} = 1. 3 + 3. (-1) = 0$

$Rightarrow vec{OA} perp vec{AB}$

$Rightarrow S_{OAB} = frac{1}{2}OA. AB = frac{1}{2}. sqrt{10}. sqrt{10} = 5$

Bài 9 trang 45

Tính góc xen giữa hai vectơ $vec{a} và vec{b}$ trong các trường hợp sau:

$a. vec{a} = (2; -3), vec{b} = (6; 4)$

$b. vec{a} = (3; 2); vec{b} = (5; -1)$

$c. vec{a} = (-2; -2sqrt{3}), vec{b} = (3; sqrt{3})$

Gợi ý đáp án

$a. cos(vec{a}, vec{b}) = frac{vec{a}.vec{b}}{|vec{a}|. |vec{b}|} = frac{2. 6 + (-3). 4}{sqrt{2^{2} + (-3)^{2}}. sqrt{6^{2} + 4^{2}}} = 0 Rightarrow (vec{a}, vec{b}) = 90^{circ}$

$b. cos(vec{a}, vec{b}) = frac{vec{a}.vec{b}}{|vec{a}|. |vec{b}|} = frac{3. 5 + (2. (-1)}{sqrt{3^{2} + 2^{2}}. sqrt{5^{2} + (-1)^{2}}} = frac{sqrt{2}}{2} Rightarrow (vec{a}, vec{b}) = 45^{circ}$

$c. cos(vec{a}, vec{b}) = frac{vec{a}.vec{b}}{|vec{a}|. |vec{b}|} = frac{(-2).3 + (-2sqrt{3}).sqrt{3}}{sqrt{(-2)^{2} + (-2sqrt{3})^{2}}. sqrt{3^{2} + (sqrt{3})^{2}}} = frac{-sqrt{3}}{2} Rightarrow (vec{a}, vec{b}) = 150^{circ}$

Bài 10 trang 45

Cho bốn điểm A(7; -3), B(8; 4), C(1; 5), D(0; -2). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông.

Gợi ý đáp án

Ta có: $vec{AB} = (1; 7), vec{DC} = (1; 7); vec{AD} = (-7; 1)$

Nhận thấy: $vec{AB} = vec{DC} Rightarrow$ ABCD là hình bình hành

mà $|vec{AB}| = |vec{AD}|$ (vì cùng = $5sqrt{2}$ ) hay AB = AD $Rightarrow$ ABCD là hình thoi (1)

Ta có: $vec{AB}. vec{AD} = 1. (-7) + 7. 1 = 0 Rightarrow vec{AB} perp vec{AD} Rightarrow AB perp AD (2)$

Từ (1) và (2) $Rightarrow$ ABCD là hình vuông (đpcm)

Bài 11 trang 45

Một máy bay đang hạ cánh với vận tốc $vec{v} = (-210; -42).$ Cho biết vận tốc của gió là $vec{w} = (-12; -4)$ và một đơn vị trên hệ trục tọa độ tương ứng với 1 km. Tìm độ dài vectơ tổng hai vận tốc $vec{v} và vec{w}$