Toán 10 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180. Định lí cosin và định lí sin trong tam giác

thptnguyendinhchieu Tháng sáu 23, 2024

0 4 minutes read

Giải Toán 10 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 – Định lí cosin và định lí sin trong tam giác sách Cánh diều là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh lớp 10 có thêm nhiều gợi ý tham khảo, dễ dàng đối chiếu kết quả khi làm bài tập toán trang 71.

Giải SGK Toán 10 Bài 1 trang 71 Cánh diều tập 1 được biên soạn chi tiết, bám sát nội dung trong sách giáo khoa. Mỗi bài toán đều được giải thích cụ thể, chi tiết. Qua đó giúp các em củng cố, khắc sâu thêm kiến thức đã học trong chương trình chính khóa; có thể tự học, tự kiểm tra được kết quả học tập của bản thân. Nội dung chi tiết bài Giải Toán 10 Bài 1 trang 71 tập 1 mời các bạn cùng đón đọc tại đây.

Bạn đang xem: Toán 10 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180. Định lí cosin và định lí sin trong tam giác

Giải Toán 10 trang 71 Cánh diều – Tập 1

Bài 1 trang 71

Cho tam giác ABC có AB = 3,5;AC = 7,5; $widehat A = {135^o}$ . Tính độ dài cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Gợi ý đáp án

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC.AB.cos A$

$begin{array}{l} Leftrightarrow B{C^2} = 7,{5^2} + 3,{5^2} - 2.7,5.3,5.cos {135^o}\ Leftrightarrow B{C^2} approx 105,6\ Leftrightarrow BC approx 10,3end{array}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $frac{{BC}}{{sin A}} = 2R$

$Rightarrow R = frac{{BC}}{{2.sin A}} = frac{{10,3}}{{2.sin {{135}^o}}} approx 7,3$

Bài 2 trang 71

Cho tam giác ABC có $widehat B = {75^o},widehat C = {45^o} và BC = 50$ . Tính độ dài cạnh AB.

Gợi ý đáp án

Ta có: $widehat B = {75^o},widehat C = {45^o} Rightarrow widehat A = {180^o} - left( {{{75}^o} + {{45}^o}} right) = {60^o}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$frac{{AB}}{{sin C}} = frac{{BC}}{{sin A}}$

$Rightarrow AB = sin C.frac{{BC}}{{sin A}} = sin {45^o}.frac{{50}}{{sin {{60}^o}}} approx 40,8$

Vậy độ dài cạnh AB là 40,8.

Bài 3 trang 71

Cho tam giác ABC có AB = 6,AC = 7,BC = 8. Tính $cos A,sin A$ và bán kính R của đường trong ngoại tiếp tam giác ABC.

Gợi ý đáp án

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2.AC.AB.cos A$

$Rightarrow cos A = frac{{A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = frac{{{7^2} + {6^2} - {8^2}}}{{2.7.6}} = frac{1}{4}$

Lại có:<img alt="{sin ^2}A + {cos ^2}A = 1 Rightarrow sin A = sqrt {1 – {{cos }^2}A} (do {0^o} < A le {90^o})" width="482" height="28" data-type="0" data-latex="{sin ^2}A + {cos ^2}A = 1 Rightarrow sin A = sqrt {1 – {{cos }^2}A} (do {0^o}

$Rightarrow sin A = sqrt {1 - {{left( {frac{1}{4}} right)}^2}} = frac{{sqrt {15} }}{4}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $frac{{BC}}{{sin A}} = 2R$

$Rightarrow R = frac{{BC}}{{2.sin A}} = frac{8}{{2.frac{{sqrt {15} }}{4}}} = frac{{16sqrt {15} }}{{15}}.$

Vậy $cos A = frac{1}{4};sin A = frac{{sqrt {15} }}{4};R = frac{{16sqrt {15} }}{{15}}.$

Bài 4 trang 71

Tính giá trị đúng của các biểu thức sau (không dùng máy tính cầm tay):

$a) A = cos {0^o} + cos {40^o} + cos {120^o} + cos {140^o}$

$b) B = sin {5^o} + sin {150^o} - sin {175^o} + sin {180^o}$

$c) C = cos {15^o} + cos {35^o} - sin {75^o} - sin {55^o}$

$d) D = tan {25^o}.tan {45^o}.tan {115^o}$

$e) E = cot {10^o}.cot {30^o}.cot {100^o}$

Gợi ý đáp án

$a) A = cos {0^o} + cos {40^o} + cos {120^o} + cos {140^o}$

Tra bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$cos {0^o} = 1;;cos {120^o} = - frac{1}{2}$

Lại có: $cos {140^o} = - cos left( {{{180}^o} - {{40}^o}} right) = - cos {40^o}$

$begin{array}{l} Rightarrow A = 1 + cos {40^o} + left( { - frac{1}{2}} right) - cos {40^o}\ Leftrightarrow A = frac{1}{2}.end{array}$

b) $B = sin {5^o} + sin {150^o} - sin {175^o} + sin {180^o}$

Tra bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$sin {150^o} = frac{1}{2};;sin {180^o} = 0$

Lại có: $sin {175^o} = sin left( {{{180}^o} - {{175}^o}} right) = sin {5^o}$

$begin{array}{l} Rightarrow B = sin {5^o} + frac{1}{2} - sin {5^o} + 0\ Leftrightarrow B = frac{1}{2}.end{array}$

$c) C = cos {15^o} + cos {35^o} - sin {75^o} - sin {55^o}$

Ta có: $sin {75^o} = sin left( {{{90}^o} - {{75}^o}} right) = cos {15^o}; sin {55^o} = sin left( {{{90}^o} - {{55}^o}} right) = cos {35^o}$

$begin{array}{l} Rightarrow C = cos {15^o} + cos {35^o} - cos {15^o} - cos {35^o}\ Leftrightarrow C = 0.end{array}$

$d) D = tan {25^o}.tan {45^o}.tan {115^o}$

Ta có: $tan {115^o} = - tan left( {{{180}^o} - {{115}^o}} right) = - tan {65^o}$

Mà: $tan {65^o} = cot left( {{{90}^o} - {{65}^o}} right) = cot {25^o}$

$begin{array}{l} Rightarrow D = tan {25^o}.tan {45^o}.cot {25^o}\ Leftrightarrow D = tan {45^o} = 1end{array}$

$e) E = cot {10^o}.cot {30^o}.cot {100^o}$

Ta có: $cot {100^o} = - cot left( {{{180}^o} - {{100}^o}} right) = - cot {80^o}$

Mà: $cot {80^o} = tan left( {{{90}^o} - {{80}^o}} right) = tan {10^o}$

$begin{array}{l} Rightarrow E = cot {10^o}.cot {30^o}.tan {10^o}\ Leftrightarrow E = cot {30^o} = sqrt 3 .end{array}$

Bài 5 trang 71

Cho tam giác ABC. Chứng minh:

$b) tan frac{{B + C}}{2} = cot frac{A}{2}$

Gợi ý đáp án

Xét tam giác ABC, ta có:

$widehat A + widehat B + widehat C = {180^o} Rightarrow frac{{widehat A}}{2} + frac{{widehat B + widehat C}}{2} = {90^o}$

Do đó $frac{{widehat A}}{2} và frac{{widehat B + widehat C}}{2}$ là hai góc phụ nhau.

a) Ta có: $sin frac{A}{2} = cos left( {{{90}^o} - frac{A}{2}} right) = cos frac{{B + C}}{2}$

b) Ta có: $tan frac{{B + C}}{2} = cot left( {{{90}^o} - frac{{B + C}}{2}} right) = cot frac{A}{2}$

Bài 6 trang 71

Để đo khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B ở hai bên bờ một cái ao, bạn An đi dọc bờ ao từ vị trí A đến vị trí C và tiến hành đo các góc BAC, BCA. Biết AC = 25 m, $widehat {BAC} = 59,{95^o};;widehat {BCA} = 82,{15^o}.$ Hỏi khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Gợi ý đáp án

Xét tam giác ABC, ta có: $widehat {BAC} = 59,{95^o};;widehat {BCA} = 82,{15^o}.$

$Rightarrow widehat {ABC} = {180^o} - left( {59,95 + 82,{{15}^o}} right) = 37,{9^o}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác BAC ta có: $frac{{AB}}{{sin C}} = frac{{AC}}{{sin B}}$

$Rightarrow AB = sin C.frac{{AC}}{{sin B}} = sin 82,{15^o}.frac{{25}}{{sin 59,{{95}^o}}} approx 28,6$

Vậy khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B là 28,6 m.

Bài 7 trang 71

Hai tàu đánh cá cùng xuất phát từ bến A và đi thẳng đều về hai vùng biển khác nhau, theo hai hướng tạo với nhau góc ${75^o}$ . Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 8 hải lí một giờ và tàu thứ hai chạy với tốc độ 12 hải lí một giờ. Sau 2,5 giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là bao nhiêu hải lí (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Gợi ý đáp án

Gọi B, C lần lượt là vị trí của tàu thứ nhất và tàu thứ hai sau 2,5 giờ.

Sau 2,5 giờ:

Quãng đường tàu thứ nhất đi được là: AB = 8.2,5 = 20 (hải lí)

Quãng đường tàu thứ hai đi được là: AC = 12.2,5 = 30 (hải lí)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2.AC.AB.cos A$

$begin{array}{l} Rightarrow B{C^2} = {30^2} + {20^2} - 2.30.20.cos {75^o}\ Rightarrow B{C^2} approx 989,4\ Rightarrow BC approx 31,5end{array}$

Vậy hai tàu cách nhau 31,5 hải lí.

Bài 8 trang 71

Bạn A đứng ở đỉnh của tòa nhà và quan sát chiếc diều, nhận thấy góc nâng (góc nghiêng giữa phương từ mắt của bạn A tới chiếc diều và phương nằm ngang) là $alpha = {35^o}$ ; khoảng cách từ đỉnh tòa nhà tới mắt bạn A là 1,5 m. Cùng lúc đó ở dưới chân tòa nhà, bạn B cũng quan sát chiếc diều và thấy góc nâng là $beta = {75^o}$ ; khoảng cách từ mặt đất đến mắt bạn B cũng là 1,5 m. Biết chiều cao của tòa nhà là h = 20 m (Hình 17). Chiếc diều bay cao bao nhiêu mét so mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Gợi ý đáp án

Gọi các điểm:

O là vị trí của chiếc diều.

H là hình chiếu vuông góc của chiếc diều trên mặt đất.

C, D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên OH.

Đặt OC = x, suy ra OH = x + 20 + 1,5 =x + 21,5.

Xét tam giác OAC, ta có: $tan alpha = frac{{OC}}{{AC}} Rightarrow AC = frac{{OC}}{{tan alpha }} = frac{x}{{tan {{35}^o}}}$

Xét tam giác OBD, ta có: $tan beta = frac{{OD}}{{BD}} Rightarrow BD = frac{{OD}}{{tan beta }} = frac{{x + 20}}{{tan {{75}^o}}}$

Mà: $AC = BD Rightarrow frac{x}{{tan {{35}^o}}} = frac{{x + 20}}{{tan {{75}^o}}}$

$begin{array}{l} Leftrightarrow x.tan {75^o} = left( {x + 20} right).tan {35^o}\ Leftrightarrow x = frac{{20.tan {{35}^o}}}{{tan {{75}^o} - tan {{35}^o}}} approx 4,6end{array}$