Lớp 11

Xét hàm số liên tục trên một tập

Xét hàm số liên tục trên một tập là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 11.

Tài liệu bao gồm toàn bộ kiến thức về phương pháp, ví dụ xét hàm số liên tục trên một tập và các bài tập kèm theo. Hi vọng thông qua tài liệu này các bạn có thêm nhiều tư liệu tham khảo, trau dồi củng cố kiến thức để nhanh chóng giải được các bài toán 11. Chúc các bạn học tốt.

Bạn đang xem: Xét hàm số liên tục trên một tập

I. Phương pháp xét hàm số liên tục trên một tập

Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lượng giác, phân thức hữu tỉ …

Nếu hàm số dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của khoảng đó.

II. Ví dụ xét hàm số liên tục trên một tập

1. Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số <img alt="y=f(x)=left{ begin{matrix} frac{{{x}^{2}}-5x+6}{2{{x}^{3}}-16}&text{ x<2} \
2-x&text{ x}ge text{2} \
end{matrix} right." width="239" height="63" data-latex="y=f(x)=left{ begin{matrix} frac{{{x}^{2}}-5x+6}{2{{x}^{3}}-16}&text{ x
trên mathbb{R}

Lời giải:

  • Tập xác định D = mathbb{R}
  • Với <img alt="x<2Rightarrow f(x)=frac{{{x}^{2}}-5x+6}{2{{x}^{3}}-16}Rightarrow" width="258" height="49" data-latex="x Hàm số liên tục.
  • Với 2Rightarrow f(x)=2-xRightarrow” width=”200″ height=”23″ data-latex=”x>2Rightarrow f(x)=2-xRightarrow” data-i=”4″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn/?tex=x%3E2%5CRightarrow%20f(x)%3D2-x%5CRightarrow”> Hàm số liên tục.
  • Tại x = 2 ta có: f(2)=0

begin{align} underset{xto {{2}^{+}}}{mathop{lim }},f(x)=underset{xto {{2}^{+}}}{mathop{lim }},(2-x)=0 \ end{align}

underset{xto {{2}^{-}}}{mathop{lim }},f(x)=underset{xto {{2}^{-}}}{mathop{lim }},frac{{{x}^{2}}-5x+6}{2{{x}^{3}}-16}=underset{xto {{2}^{-}}}{mathop{lim }},frac{(x-2)(x-3)}{2(x-2)({{x}^{2}}+2x+4)}

=underset{xto {{2}^{-}}}{mathop{lim }},frac{x-3}{2({{x}^{2}}+2x+4)}=frac{-1}{24}ne f(2)

Vậy hàm số gián đoạn tại x = 2

2. Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số y=f(x)=tan 2x+cos x trên toàn trục số

Lời giải:

  • Tập xác định: D=mathbb{R}backslash left{ frac{pi }{4}+frac{kpi }{2} right}

Vậy hàm số liên tục trên D

3. Ví dụ 3: Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số y=f(x)=frac{sqrt{x-1}+2}{{{x}^{2}}-3x+2}

Lời giải:

Điều kiện xác định: 1 \ xneq 2 end{matrix}right.” width=”241″ height=”49″ data-latex=”left{begin{matrix} x-1geq 0 \ x^{2} -3x+2neq 0end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} x>1 \ xneq 2 end{matrix}right.” data-i=”12″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn/?tex=%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20x-1%5Cgeq%200%20%5C%5C%20x%5E%7B2%7D%20-3x%2B2%5Cneq%200%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20x%3E1%20%5C%5C%20x%5Cneq%202%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.”>

Vậy hàm số liên tục trên khoảng (1,2)cup (2,+infty )

4. Ví dụ 4: Xác định tính liên tục của hàm số sau trên mathbb{R}:

y=f(x)=frac{x-3}{{{x}^{2}}-x-6}

Lời giải:

  • Tập xác đinh: D=mathbb{R}backslash left{ 3,-2 right}

Vậy hàm số liên tục tại mọi x thuộc D và gián đoạn tại điểm x = -2, x = 3

5. Ví dụ 5: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng: 1 \

-1 & text{ khi }xle 1 \

end{array} right.” width=”251″ height=”60″ data-latex=”f(x)=left{ begin{array}{*{35}{l}}

frac{2-7x+5{{x}^{2}}}{x-1} & text{ khi x }>1 \

-1 & text{ khi }xle 1 \

end{array} right.” data-i=”17″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn/?tex=f(x)%3D%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7B*%7B35%7D%7Bl%7D%7D%0A%0A%20%5Cfrac%7B2-7x%2B5%7B%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D%7D%7Bx-1%7D%20%26%20%5Ctext%7B%20khi%20x%20%7D%3E1%20%5C%5C%0A%0A-1%20%26%20%5Ctext%7B%20khi%20%7Dx%5Cle%201%20%5C%5C%0A%0A%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.”>

Lời giải:

  • Tập xác định: D=R
  • Nếu 1″ width=”45″ height=”17″ data-latex=”x>1″ data-i=”19″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn/?tex=x%3E1″> thì hàm số f(x)=frac{2-7 x+5 x^{2}}{x-1} do đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là (-infty ,1)cup (1,+infty )

Vậy nó liên tục trên khoảng (1 ;+infty)

  • Nếu <img alt="x<1" width="45" height="17" data-latex="x thì hàm số f(x)=1. Đây là hàm đa thức có tập xác định là R. Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng (-infty ; 1)
  • Nếu x = 1,f(1)=-1

lim _{x rightarrow 1^{+}} f(x)=lim _{x rightarrow 1^{+}} frac{2-7 x+5 x^{2}}{x^{2}+x-2}=lim _{x rightarrow 1^{+}} frac{(x-1)(5 x-2)}{(x-1)}

=lim _{x rightarrow 1}(5 x-2)=3

lim_{{x rightarrow 1^{-}}} f(x)=lim _{x rightarrow 1^{-}}-1=-1

Do: lim _{x rightarrow 1^{+}} f(x) neq lim _{x rightarrow 1^{-}} f(x)=f(1) nên hàm số mathrm{f}(mathrm{x}) gián đoạn tại x_{0}=1

Vây hàm số f(x) liên tục trên (-infty ;1)cup (1;+infty ) và gián đoạn tại x = 1.

III. Bài tập xét hàm số liên tục trên một tập

Định tính liên tục của hàm số dưới đây trên tập xác định của chúng:

5 \ (x-5)^{2}+frac{1}{10} &text { khi } x leq 5end{array}right.” width=”303″ height=”65″ data-latex=”1. f(x)=left{begin{array}{l}frac{x-5}{x^{2}-25} quad &text { khi } x>5 \ (x-5)^{2}+frac{1}{10} &text { khi } x leq 5end{array}right.” data-i=”34″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn/?tex=1.%20f(x)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%5Cfrac%7Bx-5%7D%7Bx%5E%7B2%7D-25%7D%20%5Cquad%20%26%5Ctext%20%7B%20khi%20%7D%20x%3E5%20%5C%5C%20(x-5)%5E%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B10%7D%20%26%5Ctext%20%7B%20khi%20%7D%20x%20%5Cleq%205%5Cend%7Barray%7D%5Cright.”>

<img alt="2. f(x)=left{begin{array}{ll}frac{x^{4}-1}{x^{3}-1} & text { khi } x<1 \ -2 x & text { khi } x geq 1end{array}right." width="231" height="63" data-latex="2. f(x)=left{begin{array}{ll}frac{x^{4}-1}{x^{3}-1} & text { khi } x

<img alt="3. f(x)=left{begin{array}{ll}frac{x^{3}-3 x^{2}+3 x-1}{x-1} & text { khi } x<1 \ -2 x & text { khi } x geq 1end{array}right." width="287" height="60" data-latex="3. f(x)=left{begin{array}{ll}frac{x^{3}-3 x^{2}+3 x-1}{x-1} & text { khi } x

3end{array}right.” width=”256″ height=”60″ data-latex=”4. f(x)=left{begin{array}{ll}1-x & text { khi } x leq 3 \ frac{x^{2}-2 x-3}{2 x-6} & text { khi } x>3end{array}right.” data-i=”37″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn/?tex=4.%20f(x)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D1-x%20%26%20%5Ctext%20%7B%20khi%20%7D%20x%20%5Cleq%203%20%5C%5C%20%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D-2%20x-3%7D%7B2%20x-6%7D%20%26%20%5Ctext%20%7B%20khi%20%7D%20x%3E3%5Cend%7Barray%7D%5Cright.”>

<img style="margin:0;padding:0;border:0;font:inherit;cursor:zoom-in;height:76px;max-width:100%;vertical-align:middle;width:289px" src="https://o.rada.vn/data/image/holder.png" alt="5.f(x)=left{begin{array}{ll}x^{2}-3 x+4 & text { khi } x2end{array}right.” width=”289″ height=”76″ data-latex=”5.f(x)=left{begin{array}{ll}x^{2}-3 x+4 & text { khi } x2end{array}right.” data-i=”38″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn/?tex=5.f(x)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7Dx%5E%7B2%7D-3%20x%2B4%20%26%20%5Ctext%20%7B%20khi%20%7D%20x%3C2%20%5C%5C%205%20%26%20%5Ctext%20%7B%20khi%20%7D%20x%3D2%20%5C%5C%202%20x%2B1%20%26%20%5Ctext%20%7B%20khi%20%7D%20x%3E2%5Cend%7Barray%7D%5Cright.”>

0end{array}right.” width=”263″ height=”49″ data-latex=”6. f(x)=left{begin{array}{ll}1-cos x & text { khi } x leq 0 \ sqrt{x+1} & text { khi } x>0end{array}right.” data-i=”39″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn/?tex=6.%20f(x)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D1-%5Ccos%20x%20%26%20%5Ctext%20%7B%20khi%20%7D%20x%20%5Cleq%200%20%5C%5C%20%5Csqrt%7Bx%2B1%7D%20%26%20%5Ctext%20%7B%20khi%20%7D%20x%3E0%5Cend%7Barray%7D%5Cright.”>

7. y=f(x)=sqrt{3{{x}^{2}}-1} trên mathbb{R}

8. y=f(x)=2sin x+3tan 2x trên R

Ngoài ra các bạn tham khảo thêm một số tài liệu khác như:

  • Góc giữa hai mặt phẳng
  • Công thức cấp số cộng
  • Hướng dẫn giải các dạng toán tổ hợp và xác suất
  • Phương pháp giải các dạng toán phép biến hình
  • Tóm tắt kiến thức và phương pháp giải Toán lớp 11

Đăng bởi: THPT Nguyễn Đình Chiểu

Chuyên mục: Tài Liệu Lớp 11

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!