Lớp 9

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện là tài liệu luyện thi không thể thiếu dành cho các học sinh lớp 9 chuẩn bị thi vào 10 tham khảo.

Tài liệu thể hiện chi tiết cách tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện, giúp học sinh có thêm nhiều gợi ý ôn tập, củng cố kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản; học sinh có học lực khá, giỏi nâng cao tư duy và kỹ năng giải đề với các bài tập vận dụng nâng cao. Bên cạnh đó các bạn xem thêm tài liệu: Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Bạn đang xem: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện

1. Định lý Vi-ét thuận

Cho phương trình bậc 2 một ẩn: a{x^2} + bc + c = 0left( {a ne 0} right)* có hai nghiệm {x_1},,,{x_2}. Khi đó hai nghiệm thỏa mãn hệ thức:

left{ begin{matrix} S = {x_1} + {x_2} = dfrac{{ - b}}{a} hfill \ P = {x_1}{x_2} = dfrac{c}{a} hfill \ end{matrix} right.

Hệ quả: Dựa vào hệ thức Vi-ét khi phương trình bậc 2 một ẩn có nghiệm, ta có thể nhẩm trực tiếp nghiệm của phương trình trong một số trường hợp đặc biệt sau:

+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình * có 2 nghiệm {x_1} = 1{x_2} = frac{c}{a}

+ Nếu a – b + c = 0 thì phương trình * có 2 nghiệm {x_1} = - 1{x_2} = - frac{c}{a}

2. Định lý Vi-ét đảo

Giả sử hai số {x_1},,,{x_2} thực thỏa mãn hệ thức:

left{ begin{matrix} {x_1} + {x_2} = S hfill \ {x_1}{x_2} = P hfill \ end{matrix} right.left( {{S^2} geqslant 4P} right)

thì {x_1},,,{x_2} là hai nghiệm của phương trình bậc hai {x^2} - Sx + P = 0

3. Cách giải bài toán tìm m để phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

+ Tìm điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ne 0Delta geqslant 0)

+ Áp dụng hệ thức Vi-ét để biến đổi biểu thức nghiệm đã cho

+ Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.

4. Ví dụ về bài toán tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1

Bài 3: Tìm m để phương trình {x^2} + 2left( {m + 1} right)x - 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 3{x_1} + 2{x_2} = 4.

Gợi ý đáp án:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 0″ width=”79″ height=”18″ data-type=”0″ data-latex=”Leftrightarrow Delta ‘ > 0″ data-i=”28″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn/?tex=%5CLeftrightarrow%20%5CDelta%20%27%20%3E%200″>

Ta có 0forall m” width=”379″ height=”26″ data-type=”0″ data-latex=”Delta ‘ = {left( {m + 1} right)^2} – 4left( { – 2} right) = {left( {m + 1} right)^2} + 8 > 0forall m” data-i=”29″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn/?tex=%5CDelta%20%27%20%3D%20%7B%5Cleft(%20%7Bm%20%2B%201%7D%20%5Cright)%5E2%7D%20-%204%5Cleft(%20%7B%20-%202%7D%20%5Cright)%20%3D%20%7B%5Cleft(%20%7Bm%20%2B%201%7D%20%5Cright)%5E2%7D%20%2B%208%20%3E%200%5Cforall%20m”>

Với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

left{ begin{matrix} {x_1} + {x_2} = - dfrac{b}{a} = - 2left( {m + 1} right) Rightarrow {x_1} = - 2left( {m + 1} right) - {x_2} hfill \ {x_2}{x_2} = dfrac{c}{a} = - 2 hfill \ end{matrix} right.

Ta có 3{x_1} + 2{x_2} = 4 Leftrightarrow 3left[ { - 2left( {m + 1} right) - {x_2}} right] + 2{x_2} = 4

begin{matrix} Leftrightarrow - 6left( {m + 1} right) - 3{x_2} + 2{x_2} = 4 hfill \ Leftrightarrow {x_2} = - 6left( {m + 1} right) - 4 = - 10 - 6m hfill \ Rightarrow {x_1} = - 2left( {m + 1} right) + 6left( {m + 1} right) + 4 = 4m + 8 hfill \ end{matrix}

{x_1}{x_2} = - 2 Leftrightarrow - left( {6m + 10} right)left( {4m + 8} right) = - 2

begin{matrix} Leftrightarrow left( {6m + 10} right)left( {4m + 8} right) = 2 hfill \ Leftrightarrow 24{m^2} + 48m + 40m + 80 = 2 hfill \ Leftrightarrow 24{m^2} + 88m + 78 = 0 hfill \ Leftrightarrow left[ begin{matrix} m = dfrac{{ - 3}}{2} hfill \ m = dfrac{{ - 13}}{6} hfill \ end{matrix} right. hfill \ end{matrix}

Vậy với m = - frac{3}{2} hoặc m = frac{{ - 13}}{6} thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 3{x_1} + 2{x_2} = 4.

Bài 4: Cho phương trình {x^2} - 5x + m = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn left| {{x_1} - {x_2}} right| = 3

Gợi ý đáp án:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 0″ width=”73″ height=”17″ data-type=”0″ data-latex=”Leftrightarrow Delta > 0″ data-i=”40″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn/?tex=%5CLeftrightarrow%20%5CDelta%20%20%3E%200″>

Ta có 0 Leftrightarrow m 0 Leftrightarrow m

Vậy với <img alt="m < frac{{25}}{4}" width="66" height="40" data-type="0" data-latex="m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

left{ begin{matrix} {x_1} + {x_2} = dfrac{{ - b}}{a} = 5 hfill \ {x_1}{x_2} = dfrac{c}{a} = m hfill \ end{matrix} right.

A = left| {{x_1} - {x_2}} right| = 3 Rightarrow {A^2} = {left( {{x_1} - {x_2}} right)^2} = 9

begin{matrix} Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = 9 Leftrightarrow {left( {{x_1} + {x_2}} right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 9 hfill \ Leftrightarrow 25 - 4m = 9 Leftrightarrow 4m = 16 Leftrightarrow m = 4 hfill \ end{matrix}

Vậy với m = 4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn left| {{x_1} - {x_2}} right| = 3

Bài 2: Cho phương trình bậc hai {x^2} - 2left( {m - 1} right)x + 2m - 5 = 0 (x là ẩn số, m là tham số)

a) Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m,

b) Tìm m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình có tổng hai nghiệm bằng 6

Gợi ý đáp án:

a) Ta có: Delta ' = b{'^2} - ac

0forall m” width=”504″ height=”26″ data-type=”0″ data-latex=”= {left( {m – 1} right)^2} – left( {2m – 5} right) = {m^2} – 4m + 6 = {left( {m – 2} right)^2} + 2 > 0forall m” data-i=”15″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn/?tex=%3D%20%7B%5Cleft(%20%7Bm%20-%201%7D%20%5Cright)%5E2%7D%20-%20%5Cleft(%20%7B2m%20-%205%7D%20%5Cright)%20%3D%20%7Bm%5E2%7D%20-%204m%20%2B%206%20%3D%20%7B%5Cleft(%20%7Bm%20-%202%7D%20%5Cright)%5E2%7D%20%2B%202%20%3E%200%5Cforall%20m”>

Vậy với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2

b, Với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

left{ begin{matrix} {x_1} + {x_2} = dfrac{{ - b}}{a} = 2left( {m - 1} right) hfill \ {x_1}{x_2} = dfrac{c}{a} = 2m - 5 hfill \ end{matrix} right.

Ta có tổng hai nghiệm bằng 6

Rightarrow {x_1} + {x_2} = 6 Leftrightarrow 2left( {m - 1} right) = 6 Leftrightarrow m = 4

Vậy với m = 4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn tổng hai nghiệm bằng 6.

Bài 3: Cho phương trình {x^2} - left( {2m + 3} right)x + m = 0 (x là ẩn số, m là tham số)

a, Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b, Tìm m để hai nghiệm phân biệt của phương trình thỏa mãn x_1^2 + x_2^2 có giá trị nhỏ nhất.

Gợi ý đáp án:

a, Ta có 0forall m” width=”598″ height=”26″ data-type=”0″ data-latex=”Delta = {b^2} – 4ac = {left( {2m + 3} right)^2} – 4m = 4{m^2} + 8m + 9 = 4{left( {m + 1} right)^2} + 3 > 0forall m” data-i=”20″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn/?tex=%5CDelta%20%20%3D%20%7Bb%5E2%7D%20-%204ac%20%3D%20%7B%5Cleft(%20%7B2m%20%2B%203%7D%20%5Cright)%5E2%7D%20-%204m%20%3D%204%7Bm%5E2%7D%20%2B%208m%20%2B%209%20%3D%204%7B%5Cleft(%20%7Bm%20%2B%201%7D%20%5Cright)%5E2%7D%20%2B%203%20%3E%200%5Cforall%20m”>

Vậy với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2

b, Với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

left{ begin{matrix} {x_1} + {x_2} = dfrac{{ - b}}{a} = 2m + 3 hfill \ {x_1}{x_2} = dfrac{c}{a} = m hfill \ end{matrix} right.

Ta có:

begin{matrix} x_1^2 + x_2^2 = {left( {{x_1} + {x_2}} right)^2} - 2{x_1}{x_2} hfill \ = 4{m^2} + 12m + 9 - 2m = 4{m^2} + 10m + 9 hfill \ = {left( {2m + dfrac{5}{2}} right)^2} + dfrac{{11}}{4} geqslant dfrac{{11}}{4} hfill \ end{matrix}

Dấu “=” xảy ra khi m = frac{{ - 5}}{4}

Vậy với m = frac{{ - 5}}{4} thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x_1^2 + x_2^2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Đăng bởi: THPT Nguyễn Đình Chiểu

Chuyên mục: Tài Liệu Lớp 9

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!