Tam giác cân: Khái niệm, tính chất, cách chứng minh và bài tập

thptnguyendinhchieu Tháng sáu 22, 2024

0 5 minutes read

Tam giác cân là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình toán hình ở bậc trung học cơ sở và trung học phổ thông. Vậy tam giác cân là gì? Tính chất tam giác cân như thế nào? Dấu hiệu nhận biết ra sao? Mời các bạn hãy cùng THPT Nguyễn Đình Chiểu theo dõi bài viết dưới đây nhé.

Qua tài liệu tổng hợp kiến thức về tam giác cân giúp các bạn hiểu được định nghĩa về tam giác cân, các tính chất và dấu hiệu nhận biết của tam giác cân. Từ đó vận dụng các tính chất của tam giác cân để tính số đo góc, chứng minh các góc hay các cạnh bằng nhau. Vậy dưới đây là trọn bộ nội dung chi tiết tài liệu, mời các bạn cùng theo dõi tại đây nhé.

Bạn đang xem: Tam giác cân: Khái niệm, tính chất, cách chứng minh và bài tập

Table of Contents

1. Định nghĩa tam giác cân

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau, hai cạnh này được gọi là hai cạnh bên. Đỉnh của một tam giác cân là giao điểm của hai cạnh bên. Góc được tạo bởi đỉnh được gọi là góc ở đỉnh, hai góc còn lại gọi là góc ở đáy.

Ở hình trên, tam giác ABC có AB = AC suy ra tam giác ABC cân.

Có AB và AC là hai cạnh bên nên tam giác ABC cân tại đỉnh A.

2. Tính chất tam giác cân

Tam giác cân có 4 tính chất sau đây:

Tính chất 1: Trong một tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau.

Chứng minh:

Giả thiết	Tam giác ABC cân tại A, AB = AC
Kết luận	$widehat{ABC}=widehat{ACB}$

Trong tam giác cân ABC, gọi AM là tia phân giác của góc

Khi đó ta có $widehat{BAM}=widehat{CAM}$

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

AB = AC (gt)

$widehat{BAM}=widehat{CAM}$ (cmt)

AM chung

Suy ta ΔABM = ΔACM (c.g.c) (đpcm)

Tính chất 2: Một tam giác có hai góc bằng nhau thì là tam giác cân.

Chứng minh

Giả thiết	Tam giác ABC, $widehat{ABC}=widehat{ACB}$
Kết luận	Tam giác ABC cân tại A

Trong tam giác ABC, gọi AM là tia phân giác của

Tam giác ABM có $widehat{ABM} + widehat{AMB} + widehat {BAM} = 180^0$ (tổng 3 góc trong một tam giác)

Tam giác ACM có $widehat{ACM}+widehat{CAM} + widehat{CMA} = 180^0$ (tổng 3 góc trong một tam giác)

Mà lại có $widehat{ABC} = widehat{ACB}$

nên $widehat{AMB} = widehat{AMC}$

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

$widehat{BAM} = widehat{CAM}$

$widehat{ABC} = widehat{ACB}$

$widehat{AMB} = widehat{AMC}$

Suy ra ΔABM = ΔACM (g – g – g) nên AB = AC (cạnh tương ứng bằng nhau)

Xét tam giác ABC có AB = AC, suy ra tam giác ABC cân tại A (định nghĩa)

Tính chất 3: Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường cao của tam giác đó.

Tính chất 4: Trong một tam giác, nếu có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác là tam giác cân.

3. Dấu hiệu nhận biết tam giác cân

Trong tam giác cân có 2 dấu hiệu nhận biết đó là:

Dấu hiệu 1: Nếu một tam giác có hai cạnh bên bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Dấu hiệu 2: Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

4. Diện tích tam giác cân

Diện tích tam giác cân bằng Tích của chiều cao nối từ đỉnh tam giác đó tới cạnh đáy tam giác, sau đó chia cho 2.

– Công thức tính diện tích tam giác cân: S = (a x h)/ 2

Trong đó:

a: Chiều dài đáy tam giác cân (đáy là một trong 3 cạnh của tam giác)
h: Chiều cao của tam giác (chiều cao tam giác bằng đoạn thẳng hạ từ đỉnh xuống đáy).

5. Cách chứng minh tam giác cân

– Cách 1: Chứng minh tam giác đó có hai cạnh bằng nhau.

– Cách 2: Chứng minh tam giác đó có hai góc bằng nhau.

Ví dụ 1: Trong tam giác ABC có Δ ABD = Δ ACD . Chứng minh tam giác ABC cân.

+ Chứng minh theo cách 1:

Theo bài ra, ta có:

Δ ABD = Δ ACD

=> AB = AC

=> Tam giác ABC cân tại A

+ Chứng minh theo cách 2:

Theo bài ra, ta có:

∆ ABD = ∆ ACD

=> Góc B = C

=> Tam giác ABC cân tại A

Ví dụ 2:

Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D thuộc cạnh AC, điểm E thuộc cạnh AB sao cho AD = AE

a) So sánh góc ABD và ACE

b) Gọi I là giao điểm của BD và CE. ΔIBC là tam giác gì ? Vì sao ?

Gợi ý đáp án

a) Tam giác ABC cân tại A (giả thiết)

$Rightarrow left{begin{array}{l} AB = AC hspace{0,2cm} \ widehat{ABC} = widehat{ACB} hspace{0,2cm}end{array} right.$

Xét ΔABD và ΔACE có:

AB = AC (giả thiết)

$widehat{A}$ chung

AD = AE (giả thiết)

⇒ ΔABD = ΔACE (cạnh – góc – cạnh)

⇒ $widehat{ABD} = widehat{ACE}$ (cặp góc tương ứng)

b) ΔIBC có:

$begin{align*}widehat{IBC} &= widehat{ABC} - widehat{ABD} \&= widehat{ACB} - widehat{ACE} hspace{0,2cm} (text{vì} widehat{ABC} = widehat{ACB}; widehat{ABD} = widehat{ACE}) \&= widehat{ICB}end{align*}$

⇒ ΔIBC cân tại I

6. Bài tập tam giác cân

Bài 1. Cho $triangle$ ABC cân tại A có $widehat{A}=70^{circ}$ . Tính số đo các góc B và C.

Bài 2. Cho $triangle$ ABC cân tại A có $widehat{A}=120^{circ}$ . Tính số đo các góc B và C.

Bài 3. Cho $Delta M N P$ cân tại P có $hat{P}=70^{circ}$ . Tính số đo các góc $mathrm{M} và mathrm{N}.$

Bài 4. Cho $triangle$ ABC vuông cân tại A có . Tính số đo các góc B và C.

Bài 5. Cho $triangle$ ABC cân tại A có $hat{B}=30^{circ}.$ Tính số đo các góc A và C.

Bài 6. Cho $Delta M E F$ cân tai $mathrm{M} có widehat{E}=70^{circ}$ . Tính số đo các góc M và F

Bài 7. Cho $Delta P Q R$ cân tai Q có $hat{R}=42^{circ}$ . Tính số đo các góc P và Q

Bài 8. Cho $triangle$ ABC vuông cân tại A. Trên tia đối của tia B C lấy điểm D sao cho B D=A B. Tính số đo góc ADB.

Bài 9. Cho $triangle A B C$ cân tại A có $widehat{A}=70^{circ}$ . Hai tia phân giác góc B và C cắt nhau tại I. Tính Bài số đo góc BIC.

Bài 10. Cho $triangle$ ABC cân tại A có . Hai tia phân giác góc B và C cắt nhau tai I, biết số đo $widehat{B I C}=120^{circ}$ . Tính số đo góc A.

Bài 11. Cho tam giác $triangle$ ABC cân tại A có $widehat{mathrm{A}}=80^{circ}$ . Tia phân giác góc B cắt AC tai I. Tính số đo góc BIC

Bài 12: Cho góc nhọn xOy. Điểm H nằm trên tia phân giác của góc xOy. Từ H dựng các đường vuông góc xuống hai cạnh Ox và Oy (A thuộc Ox và B thuộc Oy).

a) Chứng minh tamgiác HAB là tamgiác cân

b)Dlà hình chiếu của điểm A trên Oy, C là giao điểm của AD với O. Chứng minh BC ⊥ Ox.

c) Khi góc xOy bằng 60⁰, chứng minh OA = 2O

Bài 13: Cho ∆ABC cân tại A và hai đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại K.

a) Chứng minh rBNC = rCMB

b) Chứng minh ∆BKCcân tại K

c) Chứngminh BC < KM

Bài 14: Cho ∆ ABC vuông tại A có BD là phân giác, kẻ DE ⊥ BC ( E∈BC ). Gọi F là giao điểm của AB và DE. Chứng minh rằng

a) BD là trung trực của AE

b) DF = DC

c) AD < DC; d) AE // FC.

Đăng bởi: THPT Nguyễn Đình Chiểu