Lớp 10

Tổng và hiệu của hai vectơ

Tổng và hiệu của hai vectơ là một trong những kiến thức trọng tâm trong chương trình Toán lớp 10. Trong bài viết dưới đây THPT Nguyễn Đình Chiểu sẽ giới thiệu đến các bạn lý thuyết và các dạng bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ để các bạn tham khảo.

Thông qua tài liệu này các bạn sẽ nắm vững được thế nào là tổng, hiệu của hai vectơ và các dạng bài tập thực hành. Chúc các bạn học tốt.

Bạn đang xem: Tổng và hiệu của hai vectơ

I. Tổng của hai vectơ

1. Tổng của hai vectơ

Định nghĩa: Cho hai vectơ overrightarrow{a}, overrightarrow{b}. Lấy một điểm A tùy ý, vẽ overrightarrow{AB} = overrightarrow{a}, overrightarrow{BC} = overrightarrow{b}. Vectơ overrightarrow{AC} được gọi là tổng của hai vectơ overrightarrow{a}overrightarrow{b}.

overrightarrow{AC} = overrightarrow{a} + overrightarrow{b}.

2. Quy tắc hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành thì

overrightarrow{AB} + overrightarrow{AD} = overrightarrow{AC}.

3. Tính chất của tổng các vectơ

– Tính chất giao hoán

overrightarrow{a} + overrightarrow{b} = overrightarrow{b} + overrightarrow{a}

– Tính chất kết hợp

(overrightarrow{a} + overrightarrow{b} ) + overrightarrow{c} = overrightarrow{a} + (overrightarrow{b} +overrightarrow{c})

– Tính chất của overrightarrow{0}:

overrightarrow{a}+overrightarrow{0} = overrightarrow{0} + overrightarrow{a} =overrightarrow{a}

II. Hiệu của hai vectơ

a) Vec tơ đối: Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vec tơ overrightarrow{a} được gọi là vec tơ đối của vec tơ overrightarrow{a} , kí hiệu -overrightarrow{a}.

Vec tơ đối của overrightarrow{0} là vectơ overrightarrow{0}.

b) Hiệu của hai vec tơ: Cho hai vectơ overrightarrow{a}, overrightarrow{b}. Vec tơ hiệu của hai vectơ, kí hiệu overrightarrow{a}- overrightarrow{b} là vectơ overrightarrow{a} + (-overrightarrow{b})

overrightarrow{a}- overrightarrow{b} = overrightarrow{a} + (-overrightarrow{b}).

c) Chú ý: Với ba điểm bất kì, ta luôn có

overrightarrow{AB} + overrightarrow{BC} = overrightarrow{AC} (1)

overrightarrow{AB} - overrightarrow{AC} = overrightarrow{CB} (2)

(1) là quy tắc 3 điểm (quy tắc tam giác) đối với tổng của hai vectơ.

(2) là quy tắc 3 điểm (quy tắc tam giác) đối với hiệu các vectơ.

III. Áp dụng tổng và hiệu hai vecto

a) Trung điểm của đoạn thẳng:

I là trung điểm của đoạn thẳng

⇔ overrightarrow{IA} +overrightarrow{IB} = overrightarrow{0}

b) Trọng tâm của tam giác:

G là trọng tâm của tam giác ∆ABC

⇔ overrightarrow{GA} + overrightarrow{GB}+overrightarrow{GC} = overrightarrow{0}

IV. Các dạng bài tập tổng và hiệu của vectơ

Dạng 1: Xác định độ dài tổng và hiệu của các vectơ

Phương pháp giải:

  • Sử dụng định nghĩa về tổng và hiệu của các vectơ và các tính chất, quy tắc để xác định phép toán vectơ đó
  • Dựa vào tính chất của hình học, sử dụng định lý Pitago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để xác định độ dài vectơ đó.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có widehat{ABC}=30^circBC=asqrt5. Tính độ dài của các vectơ overrightarrow{AB}+overrightarrow{BC},overrightarrow{AC}-overrightarrow{BC}overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}

Cách giải:

Theo quy tắc ba điểm:

overrightarrow{AB}+overrightarrow{BC}=overrightarrow{AC}

sin{ABC}=frac{AC}{BC}

Rightarrow AC=BC.sin{ABC}=asqrt5.sin{30^circ}=frac{asqrt5}{2}

Do đó left | overrightarrow{AB}+overrightarrow{BC} right |=left | overrightarrow{AC} right |=AC=frac{asqrt5}{2}

overrightarrow{AC}-overrightarrow{BC}= overrightarrow{AC}+overrightarrow{CB}=overrightarrow{AB}

Ta có: AC^2+AB^2-BC^2Rightarrow AB=sqrt{BC^2-AC^2}=sqrt{5a^2-frac{5a^2}{4}}=frac{asqrt{15}}{2}

Vì vậy left | overrightarrow{AC}-overrightarrow{BC} right |=left | overrightarrow{AB} right |=AB=frac{asqrt{15}}{2}

Gọi D là điểm sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}=overrightarrow{AD}

Vì tam giác ABC vuông ở A nên tứ giác ABCD là hình chữ nhật suy ra AD=BC=asqrt5

Vậy left | overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC} right |=left | overrightarrow{AD} right |=AD= asqrt5

Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức vectơ từ việc biến đổi

Phương pháp giải: Để chứng minh đẳng thức vectơ ta có các cách biến đổi: Vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lượng trung gian. Trong quá trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt các quy tắc vectơ.

Ví dụ 1: Cho năm điểm A,B,C,D,E. Chứng minh rằng:

overrightarrow{AB}+overrightarrow{CD}+overrightarrow{EA}=overrightarrow{CB}+overrightarrow{ED}

overrightarrow{AC}+overrightarrow{CD}-overrightarrow{EC}=overrightarrow{AE}-overrightarrow{DB}+overrightarrow{CB}

Cách giải:

1. Biến đổi vế trái ta có:

begin{align}nonumber VT&=overrightarrow{AC}+overrightarrow{CB}+overrightarrow{CD}+overrightarrow{ED}+overrightarrow{DA}\ nonumber&=overrightarrow{CB}+overrightarrow{ED}+overrightarrow{AC}+overrightarrow{CD}+overrightarrow{DA}\ nonumber&=overrightarrow{CB}+overrightarrow{ED}+overrightarrow{AD}+overrightarrow{DA}\ nonumber&=overrightarrow{CB}+overrightarrow{ED}=VP end{align} (ĐPCM)

2. Đẳng thức tương đương với

overrightarrow{AC}-overrightarrow{AE}+overrightarrow{CD}-overrightarrow{CB}- overrightarrow{EC}+overrightarrow{DB}=overrightarrow{0}

Leftrightarrowoverrightarrow{EC}+overrightarrow{BD}-overrightarrow{EC}+overrightarrow{DB}=overrightarrow{0}

 overrightarrow{BD}+overrightarrow{DB}=overrightarrow{0} (ĐPCM)

Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh rằng:

overrightarrow{BA}+overrightarrow{DA}+overrightarrow{AC}=overrightarrow{0}

overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC}+overrightarrow{OD}=overrightarrow{0}

overrightarrow{MA}+overrightarrow{MC}=overrightarrow{MB}+overrightarrow{OD}

Cách giải:

Ta có:

overrightarrow{BA}+overrightarrow{DA}+overrightarrow{AC}=-overrightarrow{AB}-overrightarrow{AD}+overrightarrow{AC}

=-left (overrightarrow{AB}+overrightarrow{AD} right )+overrightarrow{AC}

Theo quy tắc hình bình hành ta có overrightarrow{AB}+overrightarrow{AD}=overrightarrow{AC} suy ra:

overrightarrow{BA}+overrightarrow{DA}+overrightarrow{AC}=-overrightarrow{AC}+overrightarrow{AC}=overrightarrow{0}

2. Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: overrightarrow{OA}=overrightarrow{CO}Rightarrowoverrightarrow{OA}+overrightarrow{OC}=overrightarrow{CO}+overrightarrow{OC}=overrightarrow{0}

Tương tự: overrightarrow{OB}+overrightarrow{OD}=overrightarrow{0}Rightarrowoverrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC}+overrightarrow{OD}=overrightarrow{0}

3. Vì ABCD là hình bình hành nên:

overrightarrow{AB}=overrightarrow{DC}Rightarrowoverrightarrow{BA}+overrightarrow{DC}=overrightarrow{BA}+overrightarrow{AB}=overrightarrow{0}

begin{align}nonumberRightarrowoverrightarrow{MA}+overrightarrow{MC}&=overrightarrow{MB}+overrightarrow{BA}+overrightarrow{MD}+overrightarrow{DC}\ nonumber&=overrightarrow{MB}+overrightarrow{MD}+overrightarrow{BA}+overrightarrow{DC}\ nonumber&=overrightarrow{MB}+overrightarrow{MD} end{align} (ĐPCM).

Đăng bởi: THPT Nguyễn Đình Chiểu

Chuyên mục: Tài Liệu Lớp 10

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!