Tổng và hiệu của hai vectơ
Tổng và hiệu của hai vectơ là một trong những kiến thức trọng tâm trong chương trình Toán lớp 10. Trong bài viết dưới đây THPT Nguyễn Đình Chiểu sẽ giới thiệu đến các bạn lý thuyết và các dạng bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ để các bạn tham khảo.
Thông qua tài liệu này các bạn sẽ nắm vững được thế nào là tổng, hiệu của hai vectơ và các dạng bài tập thực hành. Chúc các bạn học tốt.
Bạn đang xem: Tổng và hiệu của hai vectơ
I. Tổng của hai vectơ
1. Tổng của hai vectơ
Định nghĩa: Cho hai vectơ . Lấy một điểm A tùy ý, vẽ . Vectơ được gọi là tổng của hai vectơ và
2. Quy tắc hình bình hành
Nếu ABCD là hình bình hành thì
3. Tính chất của tổng các vectơ
– Tính chất giao hoán
– Tính chất kết hợp
– Tính chất của :
II. Hiệu của hai vectơ
a) Vec tơ đối: Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vec tơ được gọi là vec tơ đối của vec tơ , kí hiệu
Vec tơ đối của là vectơ
b) Hiệu của hai vec tơ: Cho hai vectơ . Vec tơ hiệu của hai vectơ, kí hiệu là vectơ
c) Chú ý: Với ba điểm bất kì, ta luôn có
(1) là quy tắc 3 điểm (quy tắc tam giác) đối với tổng của hai vectơ.
(2) là quy tắc 3 điểm (quy tắc tam giác) đối với hiệu các vectơ.
III. Áp dụng tổng và hiệu hai vecto
a) Trung điểm của đoạn thẳng:
I là trung điểm của đoạn thẳng
b) Trọng tâm của tam giác:
G là trọng tâm của tam giác ∆ABC
IV. Các dạng bài tập tổng và hiệu của vectơ
Dạng 1: Xác định độ dài tổng và hiệu của các vectơ
Phương pháp giải:
- Sử dụng định nghĩa về tổng và hiệu của các vectơ và các tính chất, quy tắc để xác định phép toán vectơ đó
- Dựa vào tính chất của hình học, sử dụng định lý Pitago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để xác định độ dài vectơ đó.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có và . Tính độ dài của các vectơ và
Cách giải:
Theo quy tắc ba điểm:
Mà
Do đó
Ta có:
Vì vậy
Gọi D là điểm sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có
Vì tam giác ABC vuông ở A nên tứ giác ABCD là hình chữ nhật suy ra
Vậy
Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức vectơ từ việc biến đổi
Phương pháp giải: Để chứng minh đẳng thức vectơ ta có các cách biến đổi: Vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lượng trung gian. Trong quá trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt các quy tắc vectơ.
Ví dụ 1: Cho năm điểm A,B,C,D,E. Chứng minh rằng:
Cách giải:
1. Biến đổi vế trái ta có:
2. Đẳng thức tương đương với
(ĐPCM)
Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh rằng:
Cách giải:
Ta có:
Theo quy tắc hình bình hành ta có suy ra:
2. Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:
Tương tự:
3. Vì ABCD là hình bình hành nên:
Đăng bởi: THPT Nguyễn Đình Chiểu
Chuyên mục: Tài Liệu Lớp 10