Lớp 9

Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ lớp 9

Phương pháp giải phương trình vô tỉ lớp 9 là tài liệu hữu ích, tổng hợp 34 trang, tuyển tập toàn bộ kiến thức lý thuyết về phương pháp, bài tập phương trình vô tỉ có đáp án chi tiết kèm theo.

Chuyên đề phương trình vô tỉ được biên soạn khoa học, phù hợp với mọi đối tượng học sinh có học lực từ trung bình, khá đến giỏi. Với mỗi phương pháp giải lại bao gồm nhiều dạng bài tập tổng hợp với nhiều câu hỏi thường xuyên xuất hiện trong các đề thi. Qua đó giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng và luyện giải đề để học tốt Toán 9. Nội dung chi tiết tài liệu, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

Bạn đang xem: Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ lớp 9

I. Phương pháp 1: Nâng lũy thừa

A. Lí thuyết

1/ sqrt{f(x)}=sqrt{g(x)} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}f(x) geq 0 \ g(x) geq 0 \ f(x)=g(x)end{array}right.

2/ sqrt{f(x)}=g(x) Leftrightarrowleft{begin{array}{l}g(x) geq 0 \ f(x)=g^{2}(x)end{array}right.

3/ sqrt{f(x)}+sqrt{g(x)}=sqrt{h(x)} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}f(x) geq 0 \ g(x) geq 0 \ f(x)+g(x)+2 sqrt{f(x) cdot g(x)}=h(x)end{array}right.

4 / sqrt[2 n]{f(x)}=sqrt[2 n]{g(x)} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}f(x) geq 0 \ g(x) geq 0 \ f(x)=g(x)end{array} quadleft(n in N^{*}right)right.

5/ sqrt[2 n]{f(x)}=g(x) Leftrightarrowleft{begin{array}{l}g(x) geq 0 \ f(x)=g^{2 n}(x)end{array} quadleft(n in N^{*}right)right.

B. Bài tập

Bài 1: Giải phương trình: sqrt{x+1}=x-1 (1)

HD: (1) Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x-1 geq 0 \ x+1=(x-1)^{2}end{array} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x geq 1 \ x^{2}-3 x=0end{array} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x geq 1 \ x=3end{array} Leftrightarrow x=3right.right.right.

Bài 2: Giải phương trình: x-sqrt{2 x+3}=0

Bài 3: Giải phương trình:sqrt{x+4}-sqrt{1-x}=sqrt{1-2 x}

HD: Ta có: sqrt{x+4}-sqrt{1-x}=sqrt{1-2 x} Leftrightarrow sqrt{x+4}=sqrt{1-2 x}+sqrt{1-x}

Leftrightarrowleft{begin{array}{l}1-2 x geq 0 \ 1-x geq 0 \ x+4=1-2 x+1-x+2 sqrt{(1-2 x)(1-x)}end{array}right.

Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x leq frac{1}{2} \ 2 x+1=sqrt{2 x^{2}-3 x+1}end{array} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x leq frac{1}{2} \ 2 x+1 geq 0 \ (2 x+1)^{2}=2 x^{2}-3 x+1end{array} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}frac{-1}{2} leq x leq frac{1}{2} \ x^{2}+7 x=0end{array} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}frac{-1}{2} leq x leq frac{1}{2} \ {left[begin{array}{l}x=0 \ x=-7end{array} Leftrightarrow x=0right.}end{array}right.right.right.right.

Bài 4: Giải phương trình: sqrt{x-2}-3 sqrt{x^{2}-4}=0

HD: ĐK: left{begin{array}{l}x-2 geq 0 \ x^{2}-4 geq 0end{array} Leftrightarrow x geq 2(1)right.

Leftrightarrow sqrt{x-2}-3 sqrt{(x-2)(x+2)}=0

Leftrightarrowleft[begin{array} { l } { sqrt { x - 2 } = 0 } \ { ( 1 - 3 sqrt { x + 2 } ) = 0 } end{array} Leftrightarrow left[begin{array}{l} x=2 \ x=frac{-17}{9} end{array}right.right.

Kết hợp (1) và (2) ta được: mathrm{x}=2

Bài 5. Giải phương trình : sqrt{sqrt{3}-x}=x sqrt{sqrt{3}+x}

HD:Đk:0 leq x leq sqrt{3} khi đó pt đã cho tương đương:

x^{3}+sqrt{3} x^{2}+x-sqrt{3}=0 Leftrightarrowleft(x+frac{1}{sqrt{3}}right)^{3}=frac{10}{3 sqrt{3}} Leftrightarrow x=frac{sqrt[3]{10}-1}{sqrt{3}}
Bài 6. Giải phương trình sau : 2 sqrt{x+3}=9 x^{2}-x-4

HD:Đk: x geq-3 phương trình tương đương :

(1+sqrt{3+x})^{2}=9 x^{2} Leftrightarrowleft[begin{array} { l } { sqrt { x + 3 } + 1 = 3 x } \ { sqrt { x + 3 } + 1 = - 3 x } end{array} Leftrightarrow left[begin{array}{l} x=1 \ x=frac{-5-sqrt{97}}{18} end{array}right.right.

Bài 7. Giải phương trình sau : 2+3 sqrt[3]{9 x^{2}(x+2)}=2 x+3 sqrt[3]{3 x(x+2)^{2}}

HD:mathrm{pt} Leftrightarrow(sqrt[3]{x+2}-sqrt[3]{3 x})^{3}=0 Leftrightarrow x=1

Bài 8. Giải và biện luận phương trình:sqrt{mathrm{x}^{2}-4}=mathrm{x}-mathrm{m}

………..

II. Phương pháp 2: Đưa về phương trình tuyệt đối

A,. Kiến thức

Sử dụng hằng đẳng thức sau

<img alt="sqrt{f^{2}(x)}=g(x) Leftrightarrow|f(x)|=g(x) Leftrightarrow begin{cases}f(x)=g(x) & (f(x) geq 0) \ f(x)=-g(x) & (f(x)<0)end{cases}" width="515" height="48" data-type="0" data-latex="sqrt{f^{2}(x)}=g(x) Leftrightarrow|f(x)|=g(x) Leftrightarrow begin{cases}f(x)=g(x) & (f(x) geq 0) \ f(x)=-g(x) & (f(x)

B. Bài tập

Bài 1: Giải phương trình: sqrt{mathrm{x}^{2}-4 mathrm{x}+4}+mathrm{x}=8(1)

underline{mathrm{HD}}:(1) Leftrightarrow sqrt{(mathrm{x}-2)^{2}}=8-mathrm{x} quad Leftrightarrow|mathrm{x}-2|=8-mathrm{x}

– Nếu x<2:(1) Rightarrow 2-x=8-x (vô nghiệm)

– Nếu mathrm{x} geq 2:(1) Rightarrow mathrm{x}-2=8-mathrm{x} Leftrightarrow mathrm{x}=5 (thoả mãn) Vậy: mathrm{x}=5

Bài 2: Giải phương trình

sqrt{x+2+2 sqrt{x+1}}+sqrt{x+10-6 sqrt{x+1}}=2 sqrt{x+2-2 sqrt{x+1}} (2)

underline{H D}:(2) Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x+1 geq 0 \ sqrt{x+1+2 sqrt{x+1}+1}+sqrt{x+1-2.3 sqrt{x+1}+9}=2 sqrt{x+1-2 sqrt{x+1}+1}end{array}right.

Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x geq-1 \ sqrt{x+1}+1+|sqrt{x+1}-3|=2|sqrt{x+1}-1|end{array}right.

Đặtmathrm{y}=sqrt{mathrm{x}+1}(mathrm{y} geq 0) Rightarrow phương trình left({ }^{*}right) đã cho trở thành: mathrm{y}+1+|mathrm{y}-3|=2|mathrm{y}-1|

– Nếu <img alt="0 leq mathrm{y}<1: mathrm{y}+1+3-mathrm{y}=2-2 mathrm{y} Leftrightarrow mathrm{y}=-1 (loại)" width="406" height="22" data-type="0" data-latex="0 leq mathrm{y}

– Nếu 1 leq mathrm{y} leq 3: mathrm{y}+1+3-mathrm{y}=2 mathrm{y}-2 Leftrightarrow mathrm{y}=3

– Nếu 3: mathrm{y}+1+mathrm{y}-3=2 mathrm{y}-2″ width=”242″ height=”19″ data-type=”0″ data-latex=”mathrm{y}>3: mathrm{y}+1+mathrm{y}-3=2 mathrm{y}-2″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5Cmathrm%7By%7D%3E3%3A%20%5Cmathrm%7By%7D%2B1%2B%5Cmathrm%7By%7D-3%3D2%20%5Cmathrm%7By%7D-2″> (vô nghiệm)

Với mathrm{y}=3 Leftrightarrow mathrm{x}+1=9 Leftrightarrow mathrm{x}=8 (thoả mãn)

Vậy: mathrm{x}=8

Bài 3: Giải phương trình: sqrt{x-2+sqrt{2 x-5}}+sqrt{x+2+3 sqrt{2 x-5}}=7 sqrt{2}

mathrm{HD}: Ð mathrm{~K}: x geq frac{5}{2} mathrm{PT} Leftrightarrow sqrt{2 x-5+2 sqrt{2 x-5}+1}+sqrt{2 x-5+6 sqrt{2 x-5}+9}=14

Leftrightarrow|sqrt{2 x-5}+1|+|sqrt{2 x-5}+3|=14 Leftrightarrow sqrt{2 x-5}=5 Leftrightarrow x=15 (Thoả mãn) Vậy: x=15

Bài 4: Giải phương trình: sqrt{x+2 sqrt{x-1}}+sqrt{x-2 sqrt{x-1}}=2

HD:ĐK:x geq 1

mathrm{Pt} Leftrightarrow sqrt{x-1+2 sqrt{x-1}+1}+sqrt{x-1-2 sqrt{x-1}+1}=2 Leftrightarrow sqrt{x-1}+1+|sqrt{x-1}-1|=2

Nếu 2 pt Leftrightarrow sqrt{x-1}+1+sqrt{x-1}-1=2 Leftrightarrow x=2 (Loại)” width=”450″ height=”23″ data-type=”0″ data-latex=”x>2 pt Leftrightarrow sqrt{x-1}+1+sqrt{x-1}-1=2 Leftrightarrow x=2 (Loại)” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=x%3E2%20pt%20%5CLeftrightarrow%20%5Csqrt%7Bx-1%7D%2B1%2B%5Csqrt%7Bx-1%7D-1%3D2%20%5CLeftrightarrow%20x%3D2%20(Lo%E1%BA%A1i)”>

Nếu x leq 2 mathrm{pt} Leftrightarrow sqrt{x-1}+1+1-sqrt{x-1}=2 Leftrightarrow 0 x=0 (Luôn đúng với forall x)

Vậy tập nghiệm của phương trình là:S={x in R mid 1 leq x leq 2}

…………………

III. Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ

1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường

Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ, để giải chúng ta có thể đặt t=f(x) và chú ý điều kiện của t nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến t quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo t thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn”.

Bài 1. Giải phương trình: sqrt{x-sqrt{x^{2}-1}}+sqrt{x+sqrt{x^{2}-1}}=2

HD: Điều kiện: x geq 1

Nhận xét. sqrt{x-sqrt{x^{2}-1}} cdot sqrt{x+sqrt{x^{2}-1}}=1

Đặt t=sqrt{x-sqrt{x^{2}-1}} thì phương trình có dạng: t+frac{1}{t}=2 Leftrightarrow t=1. Thay vào tìm được x=1x=1-sqrt{2} và x=2+sqrt{3}

Bài 2. Giải phương trình: 2 x^{2}-6 x-1=sqrt{4 x+5}

HD: Điều kiện: x geq-frac{4}{5}

Đăt t=sqrt{4 x+5}(t geq 0) thì x=frac{t^{2}-5}{4}. Thay vào ta có phương trình sau:

begin{aligned} 2 cdot frac{t^{4}-10 t^{2}+25}{16} &-frac{6}{4}left(t^{2}-5right)-1=t Leftrightarrow t^{4}-22 t^{2}-8 t+27=0 \ Leftrightarrow &left(t^{2}+2 t-7right)left(t^{2}-2 t-11right)=0 end{aligned}

Ta tìm được bốn nghiệm là: t_{1,2}=-1 pm 2 sqrt{2} ; t_{3,4}=1 pm 2 sqrt{3}

Do t geq 0 nên chỉ nhận các giá trị t_{1}=-1+2 sqrt{2}, t_{3}=1+2 sqrt{3}

Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình 1 :x=1-sqrt{2} và x=2+sqrt{3}

Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện 2 x^{2}-6 x-1 geq 0

Ta được: x^{2}(x-3)^{2}-(x-1)^{2}=0, từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng.

Đơn giản nhất là ta đặt : 2 y-3=sqrt{4 x+5} và đưa về hệ đối xứng (Xem phần đặt ẩn phụ đưa về hệ)

Bài 3. Giải phương trình sau: x+sqrt{5+sqrt{x-1}}=6

HD: Điều kiện: 1 leq x leq 6

Đặt y=sqrt{x-1}(y geq 0) thì phương trình trở thành:

begin{aligned} &y^{2}+sqrt{y+5}=5 Leftrightarrow y^{4}-10 y^{2}-y+20=0 text { ( với } \ &y leq sqrt{5}) Leftrightarrowleft(y^{2}+y-4right)left(y^{2}-y-5right)=0 Leftrightarrow y=frac{1+sqrt{21}}{2}left(text { loại), } y=frac{-1+sqrt{17}}{2}right. end{aligned}

Từ đó ta tìm được các giá trị của x=frac{11-sqrt{17}}{2}

Bài 4. Giải phương trình sau : x=(2004+sqrt{x})(1-sqrt{1-sqrt{x}})^{2}

HD: mathrm{~K}: 0 leq x leq 1

Đặt y=sqrt{1-sqrt{x}} thì phương trình trở thành:

2(1-y)^{2}left(y^{2}+y-1002right)=0 Leftrightarrow y=1 Leftrightarrow x=0

Bài 5. Giải phương trình sau : x^{2}+2 x sqrt{x-frac{1}{x}}=3 x+1

HD:Điều kiện: <img alt="-1 leq x<0" width="93" height="18" data-type="0" data-latex="-1 leq x

Chia cả hai vế cho x ta nhận được :x+2 sqrt{x-frac{1}{x}}=3+frac{1}{x}. Đặt t=x-frac{1}{x}, ta giải được.

Bài 6. Giải phương trình :x^{2}+sqrt[3]{x^{4}-x^{2}}=2 x+1

HD: x=0 không phải là nghiệm, Chia cả hai vế cho x ta được:left(x-frac{1}{x}right)+sqrt[3]{x-frac{1}{x}}=2

Đặt mathrm{t}=sqrt[3]{x-frac{1}{x}}, Ta có : t^{3}+t-2=0 Leftrightarrow t=1 Leftrightarrow x=frac{1 pm sqrt{5}}{2}

Bài 7. Giải phương trình: 3 x^{2}+21 x+18+2 sqrt{x^{2}+7 x+7}=2

HD: Đặt y =sqrt{x^{2}+7 x+7} ; y geq 0

Phương trình có dạng: 3 y^{2}+2 y-5=0 Leftrightarrowleft[begin{array}{l}y=frac{-5}{3} \ y=1end{array} Leftrightarrow y=1right.

……………

Mời các bạn tải File tài liệu để xem thêm nội dung chi tiết

Đăng bởi: THPT Nguyễn Đình Chiểu

Chuyên mục: Tài Liệu Lớp 9

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!