Giải Toán 9 Bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

thptnguyendinhchieu Tháng sáu 23, 2024

0 8 minutes read

THPT Nguyễn Đình Chiểu mời quý thầy cô cùng tham khảo tài liệu Giải bài tập SGK Toán 9 Tập 1 trang 18, 19, 20 để xem gợi ý giải các bài tập của Bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương thuộc chương 1 Đại số 9.

Tài liệu được biên soạn với nội dung bám sát chương trình sách giáo khoa Toán lớp 9 tập 1. Qua đó, các em sẽ biết cách giải toàn bộ các bài tập của bài 4 Chương 1 trong sách giáo khoa Toán 9 Tập 1. Chúc các bạn học tốt.

Bạn đang xem: Giải Toán 9 Bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

Table of Contents

Lý thuyết Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

1. Định lí. Với số a không âm và số b dương ta có

1. Định lí

Với số a không âm và số b dương ta có: $sqrt{dfrac{a}{b}} = dfrac{sqrt{a}}{sqrt{b}}.$

2. Quy tắc khai phương một thương

Muốn khai phương một thương $dfrac{a}{b}$ , trong đó a không âm, b dương, ta có thể khai phương lần lượt a và b rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ 2.

3. Quy tắc chia các căn bậc hai

Muốn chia các căn bậc hai của số a không âm cho căn bậc hai của số b dương ta có thể chia a cho cho b rồi khai phương kết quả đó.

Chú ý: Một cách tổng quát, với biểu thức A không âm và biểu thức B dương ta có $sqrt{dfrac{A}{B}}=dfrac{sqrt A}{sqrt B}$

4. Các dạng toán cơ bản

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức

Sử dụng: Với biểu thức A không âm và biểu thức B dương ta có $sqrt{dfrac{A}{B}}=dfrac{sqrt A}{sqrt B}$

Dạng 2: Rút gọn biểu thức

Sử dụng: Với biểu thức A không âm và biểu thức B dương ta có

Giải bài tập toán 9 trang 18, 19, 20 tập 1

Bài 28 (trang 18 SGK Toán 9 Tập 1)

Tính:

a) $sqrt{dfrac{289}{225}};$

b) $sqrt{2dfrac{14}{25}};$

c) $sqrt{dfrac{0,25}{9}} ;$

d) $sqrt{dfrac{8,1}{1,6}}.$

Gợi ý đáp án

a) Ta có:

$sqrt{dfrac{289}{225}}=dfrac{sqrt{289}}{sqrt{225}}=dfrac{sqrt {17^2}}{sqrt{15^2}}=dfrac{17}{15}.$

b) Ta có:

$sqrt{2dfrac{14}{25}}=sqrt{dfrac{2.25+14}{25}}=sqrt{dfrac{50+14}{25}}$

$=sqrt{dfrac{64}{25}}=dfrac{sqrt{64}}{sqrt{25}}=dfrac{sqrt{8^2}}{sqrt{5^2}}=dfrac{8}{5}.$

c) Ta có:

$sqrt{dfrac{0,25}{9}}=dfrac{sqrt{0,25}}{sqrt{9}}=dfrac{sqrt{0,5^2}}{sqrt{3^2}}=dfrac{0,5}{3}$

$=0,5.dfrac{1}{3}=dfrac{1}{2}.dfrac{1}{3}=dfrac{1}{6}.$

d) Ta có:

$sqrt{dfrac{8,1}{1,6}}=sqrt{dfrac{81.0,1}{16.0,1}}=sqrt{dfrac{81}{16}}=dfrac{sqrt{81}}{sqrt{16}}=dfrac{sqrt{9^2}}{sqrt{4^2}}=dfrac{9}{4}.$

Bài 29 (trang 19 SGK Toán 9 Tập 1)

Tính:

a. $dfrac{sqrt{2}}{sqrt{18}}$

$b. dfrac{sqrt{15}}{sqrt{735}}$

$c. dfrac{sqrt{12500}}{sqrt{500}}$

$d. dfrac{sqrt{6^{5}}}{sqrt{2^{3}.3^{5}}}$

Gợi ý đáp án

a. $dfrac{sqrt{2}}{sqrt{18}}$

$dfrac{sqrt{2}}{sqrt{18}}=sqrt{dfrac{2}{18}}=sqrt{dfrac{2.1}{2.9}}=sqrt{dfrac{1}{9}}=sqrt {{{left( {dfrac{1}{3}} right)}^2}} =dfrac{1}{3}.$

$b. dfrac{sqrt{15}}{sqrt{735}}$

$dfrac{sqrt{15}}{sqrt{735}}=sqrt{dfrac{15}{735}}=sqrt{dfrac{15.1}{15.49}}=sqrt{dfrac{1}{49}}=sqrt {{{left( {dfrac{1}{7}} right)}^2}}$

$c. dfrac{sqrt{12500}}{sqrt{500}}$

$dfrac{sqrt{12500}}{sqrt{500}}=sqrt{dfrac{12500}{500}}=sqrt{dfrac{500.25}{500}}$

$=sqrt{25}=sqrt{5^2}=5.$

$d. dfrac{sqrt{6^{5}}}{sqrt{2^{3}.3^{5}}}$

$dfrac{sqrt{6^{5}}}{sqrt{2^{3}.3^{5}}}=sqrt{dfrac{6^5}{2^3.3^5}}=sqrt{dfrac{(2.3)^5}{2^3.3^5}}=sqrt{dfrac{2^5.3^5}{2^3.3^5}}$

$=sqrt{dfrac{2^5}{2^3}}=sqrt{dfrac{2^3.2^2}{2^3}}=sqrt{2^2}=2$

Bài 30 (trang 19 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn các biểu thức sau:

Gợi ý đáp án

a. $dfrac{y}{x}.sqrt{dfrac{x^{2}}{y^{4}}}$ với x > 0, y ≠ 0;

Ta có:

$dfrac{y}{x}.sqrt{dfrac{x^{2}}{y^{4}}}=dfrac{y}{x}.dfrac{sqrt{x^2}}{sqrt{y^{4}}}$

$=dfrac{y}{x}.dfrac{sqrt{x^2}}{sqrt{(y^2)^2}}=dfrac{y}{x}.dfrac{|x|}{|y^2|}$

Vì x> 0 nên |x|=x.

Vì $y ne 0$ nên 0 Rightarrow |y^2|=y^2.” width=”156″ height=”25″ data-latex=”y^2 > 0 Rightarrow |y^2|=y^2.” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=y%5E2%20%3E%200%20%5CRightarrow%20%7Cy%5E2%7C%3Dy%5E2.”>

$Rightarrow dfrac{y}{x}.dfrac{|x|}{|y^2|} =dfrac{y}{x}.dfrac{x}{y^2}=dfrac{y}{x}.dfrac{x}{y.y}=dfrac{1}{y}.$

Vậy $dfrac{y}{x}.sqrt{dfrac{x^{2}}{y^{4}}}=dfrac{1}{y}.$

b. $2 y^{2}. sqrt{dfrac{x^{4}}{4y^{2}}}$ với y < 0

Ta có:

$2y^2.sqrt{dfrac{x^{4}}{4y^{2}}}=2y^2.dfrac{sqrt{x^4}}{sqrt{4y^2}}=2y^2.dfrac{sqrt{(x^2)^2}}{sqrt{2^2.y^2}}$

$=2y^2.dfrac{sqrt{(x^2)^2}}{sqrt{(2y)^2}}=2y^2.dfrac{|x^2|}{|2y|}$

Vì $x^2 ge 0 Rightarrow |x^2|=x^2.$

Vì y<0 nên 2y < 0 $Rightarrow |2y|=-2y$

$Rightarrow 2y^2.dfrac{|x^2|}{|2y|}=2y^2.dfrac{x^2}{-2y}=dfrac{2y^2.x^2}{-2y}$

$=dfrac{x^2.y.2y}{-2y}=-x^2y.$

Vậy $2y^2.sqrt{dfrac{x^{4}}{4y^{2}}}=-x^2y.$

c. <img src="https://o.rada.vn/data/image/holder.png" alt="5xy. sqrt{dfrac{25x^{2}}{y^{6}}} với x 0″ width=”225″ height=”60″ data-latex=”5xy. sqrt{dfrac{25x^{2}}{y^{6}}} với x 0″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=5xy.%20%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B25x%5E%7B2%7D%7D%7By%5E%7B6%7D%7D%7D%20v%E1%BB%9Bi%20x%20%3C%200%2C%5C%20y%20%3E%200″>

Ta có:

$5xy.sqrt{dfrac{25x^{2}}{y^{6}}}=5xy.dfrac{sqrt{25x^2}}{sqrt{y^6}}=5xy.dfrac{sqrt{5^2.x^2}}{sqrt{(y^3)^2}}$

$=5xy.dfrac{sqrt{(5x)^2}}{sqrt{(y^3)^2}}=5xy.dfrac{|5x|}{|y^3|}$

Vì x<0 nên |5x|=-5x

Vì y>0 0 Rightarrow |y^3|=y^3.” width=”180″ height=”24″ data-latex=”Rightarrow y^3 >0 Rightarrow |y^3|=y^3.” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5CRightarrow%20y%5E3%20%3E0%20%5CRightarrow%20%7Cy%5E3%7C%3Dy%5E3.”>

$Rightarrow 5xy.dfrac{|5x|}{|y^3|}=5xy.dfrac{-5x}{y^3}=dfrac{5xy.(-5x)}{y^3}$

$=dfrac{[5.(-5)].(x.x).y}{y^2.y}=dfrac{-25x^2}{y^2}$

Vậy $5xy.sqrt{dfrac{25x^{2}}{y^{6}}}=dfrac{-25x^2}{y^2}.$

d. $0,2x^{3}y^{3}.sqrt{dfrac{16}{x^{4}y^{8}}}$ với x ≠ 0, y ≠ 0

Ta có:

$0,2x^{3}y^{3}.sqrt{dfrac{16}{x^{4}y^{8}}}=0,2x^3y^3.dfrac{sqrt{16}}{sqrt{x^4y^8}}$

$=0,2x^3y^3dfrac{sqrt{4^2}}{sqrt{(x^2)^2.(y^4)^2}}$

$=0,2x^3y^3.dfrac{sqrt{4^2}}{sqrt{(x^2)^2}.sqrt{(y^4)^2}}=0,2x^3y^3.dfrac{4}{|x^2|.|y^4|}.$

Vì $x ne 0, y ne 0$ nên 0 và y^4 > 0″ width=”122″ height=”25″ data-latex=”x^2 > 0 và y^4 > 0″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=x%5E2%20%3E%200%20v%C3%A0%20y%5E4%20%3E%200″>

$Rightarrow |x^2| =x^2 và |y^4|=y^4.$

$Rightarrow 0,2x^3y^3.dfrac{4}{|x^2|.|y^4|}=0,2x^3y^3.dfrac{4}{x^2y^4}$

$=dfrac{0,2x^3y^3.4}{x^2y^4}$

$=dfrac{0,8x}{y}.$

Vậy $0,2x^{3}y^{3}.sqrt{dfrac{16}{x^{4}y^{8}}}=dfrac{0,8x}{y}.$

Bài 31 (trang 19 SGK Toán 9 Tập 1)

a. So sánh $sqrt{25 - 16}$ và $sqrt {25} - sqrt {16}$

b. Chứng minh rằng: với a > b >0 thì <img alt="sqrt a – sqrt b < sqrt {a – b}" width="152" height="28" data-latex="sqrt a – sqrt b

Gợi ý đáp án

a. So sánh $sqrt{25 - 16}$ và $sqrt {25} - sqrt {16}$

Ta có:

$+) sqrt {25 - 16} = sqrt 9 =sqrt{3^2}= 3.$

$+) sqrt {25} - sqrt {16} = sqrt{5^2}-sqrt{4^2}=5 - 4 = 1 .$

Vì 1 Leftrightarrow sqrt {25 – 16}>sqrt {25} – sqrt {16} .” width=”269″ height=”24″ data-latex=”3>1 Leftrightarrow sqrt {25 – 16}>sqrt {25} – sqrt {16} .” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=3%3E1%20%5CLeftrightarrow%20%5Csqrt%20%7B25%20-%2016%7D%3E%5Csqrt%20%7B25%7D%20-%20%5Csqrt%20%7B16%7D%20.”>

Vậy sqrt {25} – sqrt {16}” width=”191″ height=”24″ data-latex=”sqrt {25 – 16} > sqrt {25} – sqrt {16}” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5Csqrt%20%7B25%20-%2016%7D%20%3E%20%5Csqrt%20%7B25%7D%20-%20%5Csqrt%20%7B16%7D”>

b. Chứng minh rằng: với a > b >0 thì <img alt="sqrt a – sqrt b < sqrt {a – b}" width="152" height="28" data-latex="sqrt a – sqrt b

Bài ra cho a > b > 0 nên $sqrt a ,sqrt b và sqrt {a - b}$ đều xác định và dương.

Ta sẽ so sánh $sqrt a$ với $sqrt {a - b} + sqrt b$

Theo kết quả bài 26 trang 16 SGK toán 9 tập 1, với hai số dương a-b và b, ta sẽ có:

sqrt {a – b + b}” width=”214″ height=”25″ data-latex=”sqrt {a – b} + sqrt b > sqrt {a – b + b}” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5Csqrt%20%7Ba%20-%20b%7D%20%2B%20%5Csqrt%20b%20%3E%20%5Csqrt%20%7Ba%20-%20b%20%2B%20b%7D”>

Suy ra:

sqrt a Leftrightarrow sqrt {a – b} > sqrt a – sqrt b” width=”334″ height=”27″ data-latex=”sqrt {a – b} + sqrt b > sqrt a Leftrightarrow sqrt {a – b} > sqrt a – sqrt b” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5Csqrt%20%7Ba%20-%20b%7D%20%2B%20%5Csqrt%20b%20%3E%20%5Csqrt%20a%20%5CLeftrightarrow%20%5Csqrt%20%7Ba%20-%20b%7D%20%3E%20%5Csqrt%20a%20-%20%5Csqrt%20b”>

Vậy <img alt="sqrt a – sqrt b < sqrt {a – b}" width="152" height="28" data-latex="sqrt a – sqrt b với a > b > 0.

Cách khác 1:

Với a > b > 0 ta có sqrt b \a – b > 0end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}sqrt a – sqrt b > 0\sqrt {a – b} > 0end{array} right.” width=”249″ height=”53″ data-latex=”left{ begin{array}{l}sqrt a > sqrt b \a – b > 0end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}sqrt a – sqrt b > 0\sqrt {a – b} > 0end{array} right.” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%5Csqrt%20a%20%3E%20%5Csqrt%20b%20%5C%5Ca%20-%20b%20%3E%200%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.%20%5CRightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%5Csqrt%20a%20-%20%5Csqrt%20b%20%3E%200%5C%5C%5Csqrt%20%7Ba%20-%20b%7D%20%3E%200%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.”>

Xét <img alt="sqrt a – sqrt b < sqrt {a – b} ," width="158" height="27" data-latex="sqrt a – sqrt b

Bình phương hai vế ta được

<img alt="{left( {sqrt a – sqrt b } right)^2} < {left( {sqrt {a – b} } right)^2} Leftrightarrow {left( {sqrt a } right)^2} – 2.sqrt a .sqrt b + {left( {sqrt b } right)^2} < a – b" width="517" height="41" data-latex="{left( {sqrt a – sqrt b } right)^2} < {left( {sqrt {a – b} } right)^2} Leftrightarrow {left( {sqrt a } right)^2} – 2.sqrt a .sqrt b + {left( {sqrt b } right)^2}

<img alt="Leftrightarrow a – 2sqrt {ab} + b < a – b Leftrightarrow 2b – 2sqrt {ab} < 0" width="341" height="23" data-latex="Leftrightarrow a – 2sqrt {ab} + b < a – b Leftrightarrow 2b – 2sqrt {ab}

<img alt="Leftrightarrow 2sqrt b left( {sqrt b – sqrt a } right) < 0" width="182" height="26" data-latex="Leftrightarrow 2sqrt b left( {sqrt b – sqrt a } right) luôn đúng vì

0\sqrt b – sqrt a < 0,left( {do,0 < b 0\sqrt b – sqrt a < 0,left( {do,0 < b

Vậy<img alt="sqrt a – sqrt b < sqrt {a – b}" width="152" height="28" data-latex="sqrt a – sqrt b với a > b > 0.

Cách khác 2:

Bài ra cho a > b > 0 nên $sqrt a ,sqrt b$ và $sqrt {a - b}$ đều xác định và dương.

Ta sẽ so sánh $sqrt a$ với $sqrt {a - b} + sqrt b$

Ta có $sqrt {a - b} + sqrt b$ là số dương và

${left( {sqrt {a - b} + sqrt b } right)^2} = a - b + 2sqrt {bleft( {a - b} right)} + b = a + 2sqrt {bleft( {a - b} right)}$

Rõ ràng $2sqrt {b(a - b)}$ > 0 nên a (1)” width=”191″ height=”41″ data-latex=”{left( {sqrt {a – b} + sqrt b } right)^2} > a (1)” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%7B%5Cleft(%20%7B%5Csqrt%20%7Ba%20-%20b%7D%20%2B%20%5Csqrt%20b%20%7D%20%5Cright)%5E2%7D%20%3E%20a%20(1)”>

Ta có $sqrt a$ là số không âm và ${left( {sqrt a } right)^2} = a (2)$

Từ (1) và (2) suy ra

{left( {sqrt a } right)^2} (3)” width=”230″ height=”41″ data-latex=”{left( {sqrt {a – b} + sqrt b } right)^2} > {left( {sqrt a } right)^2} (3)” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%7B%5Cleft(%20%7B%5Csqrt%20%7Ba%20-%20b%7D%20%2B%20%5Csqrt%20b%20%7D%20%5Cright)%5E2%7D%20%3E%20%7B%5Cleft(%20%7B%5Csqrt%20a%20%7D%20%5Cright)%5E2%7D%20(3)”>

Từ (3) theo định lí so sánh các căn bậc hai số học, ta suy ra

sqrt {{{left( {sqrt a } right)}^2}}” width=”243″ height=”49″ data-latex=”sqrt {{{left( {sqrt {a – b} + sqrt b } right)}^2}} > sqrt {{{left( {sqrt a } right)}^2}}” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5Csqrt%20%7B%7B%7B%5Cleft(%20%7B%5Csqrt%20%7Ba%20-%20b%7D%20%2B%20%5Csqrt%20b%20%7D%20%5Cright)%7D%5E2%7D%7D%20%3E%20%5Csqrt%20%7B%7B%7B%5Cleft(%20%7B%5Csqrt%20a%20%7D%20%5Cright)%7D%5E2%7D%7D”>

Hay left| {sqrt a } right|” width=”173″ height=”30″ data-latex=”left| {sqrt {a – b} + sqrt b } right| > left| {sqrt a } right|” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5Cleft%7C%20%7B%5Csqrt%20%7Ba%20-%20b%7D%20%2B%20%5Csqrt%20b%20%7D%20%5Cright%7C%20%3E%20%5Cleft%7C%20%7B%5Csqrt%20a%20%7D%20%5Cright%7C”>

Hay sqrt a” width=”152″ height=”27″ data-latex=”sqrt {a – b} + sqrt b > sqrt a” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5Csqrt%20%7Ba%20-%20b%7D%20%2B%20%5Csqrt%20b%20%3E%20%5Csqrt%20a”>

Từ kết quả <img alt="sqrt a < sqrt {a – b} + sqrt b" width="152" height="27" data-latex="sqrt a , ta có <img alt="sqrt a – sqrt b < sqrt {a – b}" width="152" height="28" data-latex="sqrt a – sqrt b

Giải bài tập toán 9 trang 19, 20 tập 1: Luyện tập

Bài 32 (trang 19 SGK Toán 9 Tập 1)

Tính

$a. sqrt{1dfrac{9}{16}.5dfrac{4}{9}.0,01}$

$b. sqrt{1,44.1,21-1,44.0,4}$

$c. sqrt{dfrac{165^{2}-124^{2}}{164}}$

$d. sqrt{dfrac{149^{2}-76^{2}}{457^{2}-384^{2}}}$

Gợi ý đáp án

$a. sqrt{1dfrac{9}{16}.5dfrac{4}{9}.0,01}$

Ta có:

$sqrt{1dfrac{9}{16}.5dfrac{4}{9}.0,01}=sqrt{dfrac{1.16+9}{16}.dfrac{5.9+4}{9}.dfrac{1}{100}}$

$=sqrt{dfrac{16+9}{16}.dfrac{45+4}{9}.dfrac{1}{100}}$

$=sqrt{dfrac{25}{16}.dfrac{49}{9}.dfrac{1}{100}}$

$=sqrt{dfrac{25}{16}}.sqrt{dfrac{49}{9}}.sqrt{dfrac{1}{100}}$

$=dfrac{sqrt{25}}{sqrt{16}}.dfrac{sqrt{49}}{sqrt{9}}.dfrac{sqrt{1}}{sqrt{100}}$

$=dfrac{sqrt{5^2}}{sqrt{4^2}}.dfrac{sqrt{7^2}}{sqrt{3^2}}.dfrac{1}{sqrt{10^2}}$

$=dfrac{5}{4}.dfrac{7}{3}.dfrac{1}{10}=dfrac{5.7.1}{4.3.10}=dfrac{35}{120}=dfrac{7}{24}.$

$b. sqrt{1,44.1,21-1,44.0,4}$

Ta có:

$sqrt{1,44.1,21-1,44.0,4} = sqrt{1,44(1,21-0,4)}$

$=sqrt{1,44.0,81}$

$=sqrt{1,44}.sqrt{0,81}$

$=sqrt{1,2^2}.sqrt{0,9^2}$

=1,2.0,9=1,08.

$c. sqrt{dfrac{165^{2}-124^{2}}{164}}$

Ta có:

$sqrt{dfrac{165^{2}-124^{2}}{164}}=sqrt{dfrac{(165-124)(165+124)}{164}}$

$=sqrt{dfrac{41.289}{41.4}} =sqrt{dfrac{289}{4}}$

$=dfrac{sqrt{289}}{sqrt{4}} =dfrac{sqrt{17^2}}{sqrt{2^2}} =dfrac{17}{2}.$

$d. sqrt{dfrac{149^{2}-76^{2}}{457^{2}-384^{2}}}$

Ta có:

$sqrt{dfrac{149^{2}-76^{2}}{457^{2}-384^{2}}} =sqrt{dfrac{(149-76)(149+76)}{(457-384)(457+384)}}$

$=sqrt{dfrac{73.225}{73.841}} =sqrt{dfrac{225}{841}}$

$=sqrt {dfrac{15^2}{29^2}} = sqrt {{{left( {dfrac{{15}}{{29}}} right)}^2}}=dfrac{15}{29}.$

Bài 33 (trang 19 SGK Toán 9 Tập 1)

Giải phương trình

$a. sqrt 2 .x - sqrt {50} = 0$

$b. sqrt 3 .x + sqrt 3 = sqrt {12} + sqrt {27}$

$c. sqrt 3 .{x^2} - sqrt {12} = 0$

$d. dfrac{x^2}{sqrt 5 } - sqrt {20} = 0$

Gợi ý đáp án

$a. sqrt 2 .x - sqrt {50} = 0$

$Leftrightarrow sqrt{2}x=sqrt{50}$

$Leftrightarrow x=dfrac{sqrt{50}}{sqrt{2}}$

$Leftrightarrow x =sqrt{dfrac{50}{2}}$

$Leftrightarrow x= sqrt{25}$

$Leftrightarrow x= sqrt{5^2}$

$Leftrightarrow x=5.$

Vậy x=5.

$b. sqrt 3 .x + sqrt 3 = sqrt {12} + sqrt {27}$

$Leftrightarrow sqrt{3}.x = sqrt{12} + sqrt{27} - sqrt{3}$

$Leftrightarrow sqrt{3}.x=sqrt{4.3}+sqrt{9.3}- sqrt{3}$

$Leftrightarrow sqrt{3}.x=sqrt{4}. sqrt{3}+sqrt{9}. sqrt{3}- sqrt{3}$

$Leftrightarrow sqrt{3}.x=sqrt{2^2}. sqrt{3}+sqrt{3^2}. sqrt{3}- sqrt{3}$

$Leftrightarrow sqrt{3}.x=2 sqrt{3}+3sqrt{3}- sqrt{3}$

$Leftrightarrow sqrt{3}.x=(2+3-1).sqrt{3}$

$Leftrightarrow sqrt{3}.x=4sqrt{3}$

$Leftrightarrow x=4.$

Vậy x=4.

$c. sqrt 3 .{x^2} - sqrt {12} = 0$

$sqrt{3}x^2-sqrt{12}=0$

$Leftrightarrow sqrt{3}x^2=sqrt{12}$

$Leftrightarrow sqrt{3}x^2=sqrt{4.3}$

$Leftrightarrow sqrt{3}x^2=sqrt{4}.sqrt 3$

$Leftrightarrow x^2=sqrt{4}$

$Leftrightarrow x^2=sqrt{2^2}$

$Leftrightarrow sqrt{x^2}=sqrt{2}$

$Leftrightarrow |x|= sqrt 2$

$Leftrightarrow x= pm sqrt 2.$

Vậy $x= pmsqrt 2.$

$d. dfrac{x^2}{sqrt 5 } - sqrt {20} = 0$

$dfrac{x^{2}}{sqrt{5}}- sqrt{20} = 0$

$Leftrightarrow dfrac{x^2}{sqrt{5}}=sqrt{20}$

$Leftrightarrow x^2=sqrt{20}.sqrt{5}$

$Leftrightarrow x^2=sqrt{20.5}$

$Leftrightarrow x^2=sqrt{100}$

$Leftrightarrow x^2=sqrt{10^2}$

$Leftrightarrow x^2=10$

$Leftrightarrow sqrt{x^2}=sqrt {10}$

$Leftrightarrow |x|=sqrt{10}$

$Leftrightarrow x=pm sqrt{10}.$

Vậy $x= pm sqrt{10}.$

Bài 34 (trang 19 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn các biểu thức sau:

a. $ab^{2}.sqrt{dfrac{3}{a^{2}b^{4}}}$ với a < 0, b ≠ 0

$b. sqrt{dfrac{27(a - 3)^{2}}{48}}$ với a > 3

$c. sqrt{dfrac{9+12a+4a^{2}}{b^{2}}}$ với a ≥ -1,5 và b < 0.

d. $(a - b).sqrt{dfrac{ab}{(a - b)^{2}}}$ với a < b < 0

Gợi ý đáp án

a. $ab^{2}.sqrt{dfrac{3}{a^{2}b^{4}}}$ với a < 0, b ≠ 0

Ta có:

$ab^{2}.sqrt{dfrac{3}{a^{2}b^{4}}}=ab^2.dfrac{sqrt{3}}{sqrt{a^2b^4}} =ab^2.dfrac{sqrt{3}}{sqrt{a^2}.sqrt{b^4}}$

$=ab^2.dfrac{sqrt{3}}{sqrt{a^2}.sqrt{(b^2)^2}} =ab^2.dfrac{sqrt{3}}{|a|.|b^2|}$

$=ab^2.dfrac{sqrt{3}}{-ab^2}=-sqrt{3}.$

(Vì a < 0 nên |a|=-a và $b ne 0$ nên 0 Rightarrow |b^2|=b^2) .” width=”160″ height=”25″ data-latex=”b^2 >0 Rightarrow |b^2|=b^2) .” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=b%5E2%20%3E0%20%5CRightarrow%20%7Cb%5E2%7C%3Db%5E2)%20.”>

$b. sqrt{dfrac{27(a - 3)^{2}}{48}}$ với a > 3

Ta có:

$sqrt{dfrac{27(a - 3)^{2}}{48}}=sqrt{dfrac{27}{48}.(a-3)^2} =sqrt{dfrac{27}{48}}.sqrt{(a-3)^2}$

$=sqrt{dfrac{9.3}{16.3}}.sqrt{(a-3)^2} =sqrt{dfrac{9}{16}}.sqrt{(a-3)^2}$

$=sqrt{dfrac{3^2}{4^2}}.sqrt{(a-3)^2} =dfrac{sqrt {3^2}}{sqrt {4^2}}.sqrt{(a-3)^2}$

$=dfrac{3}{4}|a-3|=dfrac{3}{4}(a-3).$

( Vì a > 3 nên a-3>0 $Rightarrow |a-3|=a-3$ )

$c. sqrt{dfrac{9+12a+4a^{2}}{b^{2}}}$ với a ≥ -1,5 và b < 0.

Ta có:

$sqrt{dfrac{9+12a+4a^{2}}{b^{2}}}=sqrt{dfrac{3^2+2.3.2a+2^2.a^2}{b^2}}$

$=sqrt{dfrac{3^2+2.3.2a+(2a)^2}{b^2}}=sqrt{dfrac{(3+2a)^2}{b^2}}$

$=dfrac{sqrt{(3+2a)^2}}{sqrt{b^2}}=dfrac{|3+2a|}{|b|}$

Vì 0″ width=”198″ height=”20″ data-latex=”a geq -1,5 Rightarrow a+1,5>0″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=a%20%5Cgeq%20-1%2C5%20%5CRightarrow%20a%2B1%2C5%3E0″>

0″ width=”141″ height=”23″ data-latex=”Leftrightarrow 2(a+1,5)>0″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5CLeftrightarrow%202(a%2B1%2C5)%3E0″>

Leftrightarrow 3+2a>0″ width=”223″ height=”17″ data-latex=”Leftrightarrow 2a+3>0

Leftrightarrow 3+2a>0″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5CLeftrightarrow%202a%2B3%3E0%0A%0A%5CLeftrightarrow%203%2B2a%3E0″>

$Rightarrow |3+2a|=3+2a$

Vì <img alt="b<0Rightarrow |b|=-b" width="137" height="23" data-latex="b

Do đó $: dfrac{|3+2a|}{|b|}=dfrac{3+2a}{-b} =-dfrac{3+2a}{b}.$

Vậy $sqrt{dfrac{9+12a+4a^{2}}{b^{2}}}=-dfrac{3+2a}{b}.$

d. $(a - b).sqrt{dfrac{ab}{(a - b)^{2}}}$ với a < b < 0

Ta có:

$(a - b).sqrt{dfrac{ab}{(a - b)^{2}}}=(a-b).dfrac{sqrt{ab}}{sqrt{(a-b)^2}}$

$=(a-b).dfrac{sqrt{ab}}{|a-b|}$

$=(a-b).dfrac{sqrt{ab}}{-(a-b)}=-sqrt{ab}.$

(Vì a < b < 0 nên <img src="https://o.rada.vn/data/image/holder.png" alt="a-b0″ width=”318″ height=”22″ data-latex=”a-b0″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=a-b%3C0%5CRightarrow%20%7Ca-b%7C%3D-(a-b)%20v%C3%A0%20ab%3E0″>).

Bài 35 (trang 20 SGK Toán 9 Tập 1)

Tìm x, biết:

$a. sqrt {{{left( {x - 3} right)}^2}} = 9$

b. $sqrt {4{{rm{x}}^2} + 4{rm{x}} + 1} = 6$

Gợi ý đáp án

$a. sqrt {{{left( {x - 3} right)}^2}} = 9$

Ta có:

$sqrt {{{left( {x - 3} right)}^2}} = 9 Leftrightarrow left| {x - 3} right| = 9$

$Leftrightarrow left[ matrix{ x - 3 = 9 hfill cr x - 3 = - 9 hfill cr} right. Leftrightarrow left[ matrix{ x = 9 + 3 hfill cr x = - 9 + 3 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left[ matrix{ x = 12 hfill cr x = - 6 hfill cr} right.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 12 và x = -6.

b. $sqrt {4{{rm{x}}^2} + 4{rm{x}} + 1} = 6$

Ta có:

$sqrt{4x^2+4x+1}=6 Leftrightarrow sqrt{2^2x^2+4x+1}=6$

$Leftrightarrow sqrt{(2x)^2+2.2x+1^2}=6 Leftrightarrow sqrt{(2x+1)^2}=6$

$Leftrightarrow |2x+1| =6$

$eqalign{ & Leftrightarrow left[ matrix{ 2x + 1 = 6 hfill cr 2x + 1 = - 6 hfill cr} right. cr & Leftrightarrow left[ matrix{ 2x = 6 - 1 hfill cr 2x = - 6 - 1 hfill cr} right. Leftrightarrow left[ matrix{ 2x = 5 hfill cr 2x = - 7 hfill cr} right. cr & Leftrightarrow left[ matrix{ x = dfrac{5}{2} hfill cr x = dfrac{-7}{2} hfill cr} right. cr}$

Vậy phương trình có 2 nghiệm $x = dfrac{5}{2} và x=dfrac{-7}{2}.$

Bài 36 (trang 20 SGK Toán 9 Tập 1)

Mỗi khẳng định sau đúng hay sai ? Vì sao ?

a) $0,01 = sqrt {0,0001} ;$

b) $- 0,5 = sqrt { - 0,25} ;$

c) <img src="https://o.rada.vn/data/image/holder.png" alt="sqrt {39} 6;” width=”159″ height=”24″ data-latex=”sqrt {39} 6;” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5Csqrt%20%7B39%7D%20%3C%207%20v%C3%A0%20%5Csqrt%20%7B39%7D%20%3E%206%3B”>

d)<img alt="left( {4 – 13} right).2{rm{x}} < sqrt 3 left( {4 – sqrt {13} } right) Leftrightarrow 2{rm{x}} < sqrt {3} ." width="331" height="25" data-latex="left( {4 – 13} right).2{rm{x}} < sqrt 3 left( {4 – sqrt {13} } right) Leftrightarrow 2{rm{x}}

Gợi ý đáp án

a) Đúng. Vì $sqrt {0,0001} = sqrt {0,{{01}^2}} = 0,01$

Vì $VP=sqrt{0,0001}=sqrt{0,01^2}=0,01=VT.$

b) Sai.

Vì vế phải không có nghĩa do số âm không có căn bậc hai.

c) Đúng.

Vì: <img alt="36 < 39 < 49 Leftrightarrow sqrt {36} < sqrt {39} < sqrt {49}" width="286" height="23" data-latex="36 < 39 < 49 Leftrightarrow sqrt {36} < sqrt {39}

<img alt="Leftrightarrow sqrt {{6^2}} < sqrt {39} < sqrt {{7^2}}" width="180" height="27" data-latex="Leftrightarrow sqrt {{6^2}} < sqrt {39}

<img alt="Leftrightarrow 6 < sqrt {39} < 7" width="126" height="23" data-latex="Leftrightarrow 6 < sqrt {39}

Hay 6″ width=”68″ height=”23″ data-latex=”sqrt{39}>6″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5Csqrt%7B39%7D%3E6″> và <img alt="sqrt{39} < 7." width="73" height="23" data-latex="sqrt{39}

d) Đúng.

Xét bất phương trình đề cho:

<img alt="(4-sqrt{13}).2x<sqrt 3 .(4-sqrt{13}) (1)" width="268" height="23" data-latex="(4-sqrt{13}).2x

Ta có:

13 Leftrightarrow sqrt{16} > sqrt{13}

Leftrightarrow sqrt{4^2}> sqrt{13}” width=”308″ height=”27″ data-latex=”16>13 Leftrightarrow sqrt{16} > sqrt{13}

Leftrightarrow sqrt{4^2}> sqrt{13}” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=16%3E13%20%5CLeftrightarrow%20%5Csqrt%7B16%7D%20%3E%20%5Csqrt%7B13%7D%0A%0A%5CLeftrightarrow%20%5Csqrt%7B4%5E2%7D%3E%20%5Csqrt%7B13%7D”>

sqrt{13}

Leftrightarrow 4-sqrt{13}>0″ width=”221″ height=”22″ data-latex=”Leftrightarrow 4> sqrt{13}

Leftrightarrow 4-sqrt{13}>0″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5CLeftrightarrow%204%3E%20%5Csqrt%7B13%7D%0A%0A%5CLeftrightarrow%204-%5Csqrt%7B13%7D%3E0″>

Chia cả hai vế của bất đẳng thức (1) cho số dương $(4-sqrt{13})$ , ta được:

<img alt="dfrac{(4-sqrt{13}).2x}{(4-sqrt{13})} <dfrac{sqrt 3 .(4-sqrt{13})}{(4-sqrt{13})}" width="258" height="57" data-latex="dfrac{(4-sqrt{13}).2x}{(4-sqrt{13})}

<img alt="Leftrightarrow 2x < sqrt 3." width="98" height="23" data-latex="Leftrightarrow 2x

Vậy phép biến đổi tương đương trong câu d là đúng.

Bài 37 (trang 20 SGK Toán 9 Tập 1)

Đố: Trên lưới ô vuông, mỗi ô vuông cạnh 1cm, cho bốn điểm M,N, P,Q (h.3).

Hãy xác định số đo cạnh, đường chéo và diện tích của tứ giác MNPQ.

Gợi ý đáp án

Nối các điểm ta có tứ giác MNPQ

Tứ giác MNPQ có:

– Các cạnh bằng nhau và cùng bằng đường chéo của hình chữ nhật có chiều dài 2cm, chiều rộng 1cm. Do đó theo định lí Py-ta-go, ta có:

$MN=NP=PQ=QM=sqrt{2^{2}+1^{2}}=sqrt{5}$ (cm).

Hay MNPQ là hình thoi.

– Các đường chéo bằng nhau và cùng bằng đường chéo của hình chữ nhật có chiều dài 3cm, chiều rộng 1cm nên theo định lý Py-ta-go ta có độ dài đường chéo là:

$MP=NQ=sqrt{3^{2}+1^{2}}=sqrt{10}(cm).$