Giải Toán 7 Bài 7: Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

Ta có : Hai cung tròn tâm M và N có bán kính bằng nhau và cắt nhau tại P, Q.

Nên MP = NP và MQ = NQ

⇒ P; Q cách đều hai mút M, N của đoạn thẳng MN

nên theo định lí 2 : P; Q thuộc đường trung trực của MN

hay đường thẳng qua P, Q là đường trung trực của MN.

Vậy PQ là đường trung trực của MN.

Vì L và M đối xứng qua đường thẳng xy nên xy là đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với ML.

Nên đường thẳng xy là trung trực của ML.

I ∈ xy ⇒ IM = IL (theo định lý 1).

Nên IM + IN = IL + IN

– TH1: Nếu I, L, N thẳng hàng

⇒ IL + IN = LN (vì N và L nằm khác phía so với đường thẳng xy và I nằm trên xy).

⇒ IM + IN = LN

– TH2: Nếu I không là giao điểm của LN và xy thì ba điểm I, L, N không thẳng hàng

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào Δ INL ta được: IL + IN > LN

mà IM = IL (cmt)

⇒ IL + IN > LN (bất đẳng thức tam giác)

⇒ IM + IN > LN

Vậy với mọi vị trí của I trên xy thì IM + IN ≥ LN

Gọi đường thẳng xy là bờ sông cần xây trạm bơm.

⇒ Bài toán đưa về: Hai điểm A, B cố định cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy. Tìm vị trí điểm C nằm trên đường xy sao cho CA + CB nhỏ nhất.

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua đường thẳng xy.

Theo như chứng minh ở bài 48 ta có: CA + CB = CA’ + CB ≥ A’B (A’B cố định).

⇒ CA + CB đạt ngắn nhất bằng A’B.

Dấu “=” xảy ra khi CA’+CB = A’B, tức là A’; B; C thẳng hàng hay C là giao điểm của A’B và xy.

Vậy điểm đặt trạm bơm là giao điểm của đường thẳng xy với đường thẳng A’B, trong đó A’ là điểm đối xứng với A qua xy.

Gọi A và B là hai điểm dân cư ; C là điểm đặt trạm y tế ; m là đường quốc lộ

Vì C cách đều A và B nên C thuộc đường trung trực (d) của đoạn thẳng AB

mà C ∈ m nên C là giao điểm của m và đường trung trực (d) của AB.

Gọi 2 điểm dân cư là hai điểm A, B. Để xây dựng trạm y tế ở bên đường cách đều hai điểm dân cư thì trạm y tế đó phải là giao điểm giữa con đường và đường trung trực của AB.

Vẽ hình:

a) Ta có: PA = PB (A; B nằm trên cung tròn tâm P) nên P nằm trên đường trung trực của AB.

CA = CB (C nằm trên 2 cung tròn tâm A, B bán kính bằng nhau) nên C nằm trên đường trung trực của AB.

Vậy CP là đường trung trực của AB, suy ra PC ⊥ d.

b) Một cách vẽ khác

– Lấy hai điểm A, B bất kì trên d.

– Vẽ cung tròn tâm A bán kính AP, cung tròn tâm B bán kính BP. Hai cung tròn cắt nhau tại C (C khác P).

-Vẽ đường thẳng PC. Khi đó PC là đường đi qua P và vuông góc với d.

Chứng minh :

– Theo định lí 2 :

PA = CA ( P,C cùng thuộc cung tròn tâm A bán kính PA)

⇒ A thuộc đường trung trực của PC.

PB = CB (P, C cùng thuộc cung tròn tâm B bán kính PB)

⇒ B thuộc đường trung trực của PC.

⇒ AB là đường trung trực của PC

⇒ PC ⏊ AB hay PC ⏊ d.