Giải Toán 7 Bài 1: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Vẽ hình minh họa:

Theo định lý tổng ba góc trong tam giác ABC, ta có:

Tam giác ABC có

Ta có:(Theo định lý tổng ba góc trong một tam giác)

Cạnh đối diện góc B là AC

Cạnh đối diện góc C là AB

Cạnh đối diện góc A là BC

Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Vì 45⁰ < 55⁰ < 80⁰ hay B̂ < Ĉ < Â ⇒ AC < AB < BC.

a) Trong tam giác ABC có góc A là góc tù nên cạnh đối diện với góc A là cạnh lớn nhất.

Cạnh đối diện với góc A là BC nên suy ra cạnh BC lớn nhất.

b) Tam giác ABC là tam giác tù vì có 1 góc A tù.

Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác ABC ta có:

widehat B = widehat C left( {{{100}^o} > {{40}^o}} right)” width=”222″ height=”26″ data-latex=”Rightarrow widehat A > widehat B = widehat C left( {{{100}^o} > {{40}^o}} right)” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5CRightarrow%20%5Cwidehat%20A%20%3E%20%5Cwidehat%20B%20%3D%20%5Cwidehat%20C%20%5Cleft(%20%7B%7B%7B100%7D%5Eo%7D%20%3E%20%7B%7B40%7D%5Eo%7D%7D%20%5Cright)”>

Suy ra ∆ABC cân tại A.

Trong một tam giác ta luôn có:

+ Góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn

⇒ góc đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhỏ nhất.

+ Góc nhỏ nhất luôn là góc nhọn.

(Giả sử tồn tại tam giác có góc nhỏ nhất không phải góc nhọn

⇒ Góc nhỏ nhất ≥ 90º ⇒ cả ba góc ≥ 90º ⇒ tổng ba góc trong tam giác ≥ 90º.3 = 270º.

Điều này vô lý vì tổng ba góc trong tam giác = 180º).

Do đó góc đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhọn.

Vì tù (gt) nên ∆DCB có widehat{CBD}” width=”83″ height=”23″ data-latex=”widehat{C}>widehat{CBD}” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5Cwidehat%7BC%7D%3E%5Cwidehat%7BCBD%7D”> (góc tù là góc lớn nhất trong tam giác)

BD > CD (1) (đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn)

ABD có là góc ngoài của

nên

widehat{DCB}” width=”136″ height=”24″ data-latex=”Rightarrow widehat{DBA} > widehat{DCB}” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5CRightarrow%20%5Cwidehat%7BDBA%7D%20%3E%20%5Cwidehat%7BDCB%7D”>

Vì là góc tù nên là góc tù

Do đó là góc lớn nhất trong nên AD là cạnh lớn nhất trong (đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất)

⇒ AD > BD (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AD > BD >CD

Vậy Hạnh đi xa nhất, Trang đi gần nhất.

Vì D nằm giữa A và C (giả thiết)

⇒ AC = AD + DC = AD + BC (DC = BC theo đề bài)

⇒ AC > BC

Mà trong tam giác ABC :

Góc đối diện cạnh AC là góc B

Góc đối diện cạnh BC là góc A

Ta lại có: AC > BC (cmt)

⇒ B̂ > Â (theo định lí 1)

Hay  < B̂.

Vậy kết luận c) là đúng.

a) Trên tia AC, lấy B’ sao cho AB’ = AB

Mà AB < AC ( giả thiết) nên AB'<AC

Suy ra B’ nằm giữa A và C

=> tia BB’ nằm giữa hai tia BA và BC

widehat{ABB’} widehat{ABB’}

b) ∆ABB’ có AB = AB’ nên ∆ABB’ cân tại A

widehat{ABB’} = widehat{AB’B}” width=”154″ height=”25″ data-latex=”=> widehat{ABB’} = widehat{AB’B}” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%3D%3E%20%5Cwidehat%7BABB’%7D%20%3D%20%5Cwidehat%7BAB’B%7D”>

c) Vì góc là góc ngoài tại B’ của nên

Mà

Do đó:widehat {ACB} (1)” width=”138″ height=”29″ data-latex=”widehat {AB’B}>widehat {ACB} (1)” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5Cwidehat%20%7BAB’B%7D%3E%5Cwidehat%20%7BACB%7D%20(1)”>

Mặt khác: (theo b) (2)

<img alt="widehat{ABB'} < widehat{ABC}" width="115" height="25" data-latex="widehat{ABB'} (theo a) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: widehat{ACB}” width=”109″ height=”24″ data-latex=”widehat{ABC} > widehat{ACB}” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5Cwidehat%7BABC%7D%20%3E%20%5Cwidehat%7BACB%7D”>