Toán 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

0 2 minutes read

Giải Toán 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ Chân trời sáng tạo là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh lớp 10 có thêm nhiều gợi ý tham khảo, dễ dàng đối chiếu kết quả khi làm bài tập toán trang 101.

Giải SGK Toán 10 Bài 4 trang 101 Chân trời sáng tạo tập 1 được biên soạn chi tiết, bám sát nội dung trong sách giáo khoa. Mỗi bài toán đều được giải thích cụ thể, chi tiết. Qua đó giúp các em củng cố, khắc sâu thêm kiến thức đã học trong chương trình chính khóa; có thể tự học, tự kiểm tra được kết quả học tập của bản thân.

Bạn đang xem: Toán 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

Giải Toán 10 trang 101 Chân trời sáng tạo – Tập 1

Bài 1 trang 101

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng:

$overrightarrow {AB} .overrightarrow {AD} ,overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} ,overrightarrow {AC} .overrightarrow {CB} ,overrightarrow {AC} .overrightarrow {BD}$

Gợi ý đáp án

Ta có: $AC = BD = sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = sqrt {{a^2} + {a^2}} = asqrt 2$

+) $AB bot AD Rightarrow overrightarrow {AB} bot overrightarrow {AD} Rightarrow overrightarrow {AB} .overrightarrow {AD} = 0$

+) $overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} = left| {overrightarrow {AB} } right|.left| {overrightarrow {AC} } right|.cos left( {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } right) = a.a.cos 45^circ = frac{{{a^2}sqrt 2 }}{2}$

+) $overrightarrow {AC} .overrightarrow {CB} = left| {overrightarrow {AC} } right|.left| {overrightarrow {CB} } right|.cos left( {overrightarrow {AC} ,overrightarrow {CB} } right) = asqrt 2 .a.cos 135^circ = - {a^2}$

+) $AC bot BD Rightarrow overrightarrow {AC} bot overrightarrow {BD} Rightarrow overrightarrow {AC} .overrightarrow {BD} = 0$

Bài 2 trang 101

Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và cho AD = a, AB = 2a. Tính:

$a) overrightarrow {AB} .overrightarrow {AO} ;$

$b) overrightarrow {AB} .overrightarrow {AD} .$

Gợi ý đáp án

$a) AC = BD = sqrt {A{B^2} + A{D^2}} \= sqrt {{{left( {2a} right)}^2} + {a^2}} = asqrt 5$

$cos left( {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AO} } right) = cos widehat {OAB} =\ cos widehat {CAB} = frac{{AB}}{{AC}} = frac{{2a}}{{asqrt 5 }} = frac{{2sqrt 5 }}{5}$

$begin{array}{l}overrightarrow {AB} .overrightarrow {AO} = left| {overrightarrow {AB} } right|.left| {overrightarrow {AO} } right|.cos left( {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AO} } right) \= AB.frac{1}{2}AC.cos left( {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AO} } right)\ = 2a.frac{1}{2}.asqrt 5 .frac{{2sqrt 5 }}{5} = 2{a^2}end{array}$

b) $AB bot AD Rightarrow overrightarrow {AB} bot overrightarrow {AD} Rightarrow overrightarrow {AB} .$

Bài 3 trang 101

Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và OA=a, OB=b. Tính tích vô hướng $overrightarrow {OA} .overrightarrow {OB}$ trong hai trường hợp:

a) Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB;

b) Điểm O nằm trong đoạn thẳng AB

Gợi ý đáp án

a) Ta có:

Ta thấy hai vectơ $overrightarrow {OA} và overrightarrow {OB}$ cùng hướng nên $left( {overrightarrow {OA} ,overrightarrow {OB} } right) = 0^circ$

$Rightarrow overrightarrow {OA} .overrightarrow {OB} = left| {overrightarrow {OA} } right|.left| {overrightarrow {OB} } right|.cos left( {overrightarrow {OA} ,overrightarrow {OB} } right) = a.b.cos 0^circ = ab$

b) Ta có:

Ta thấy hai vectơ $overrightarrow {OA}$ và $overrightarrow {OB}$ ngược hướng nên $left( {overrightarrow {OA} ,overrightarrow {OB} } right) = 180^circ$

Bài 4 trang 101

Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm và cho điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

$overrightarrow {MA} .overrightarrow {MB} = {overrightarrow {MO} ^2} - {overrightarrow {OA} ^2}$

Gợi ý đáp án

Ta có: $overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} = overrightarrow 0 Leftrightarrow - overrightarrow {OA} = overrightarrow {OB}$

$Rightarrow {overrightarrow {MO} ^2} - {overrightarrow {OA} ^2} = left( {overrightarrow {MO} - overrightarrow {OA} } right)left( {overrightarrow {MO} + overrightarrow {OA} } right) \= left( {overrightarrow {MO} + overrightarrow {OB} } right)left( {overrightarrow {MO} + overrightarrow {OA} } right) = overrightarrow {MB} .overrightarrow {MA} (đpcm)$

Bài 5 trang 101

Một người dùng một lực $overrightarrow F$ có độ lớn là 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m. Biết lực hợp $overrightarrow F$ với hướng dịch chuyển là một góc $60^circ$ . Tính công sinh bởi lực $overrightarrow F$

Gợi ý đáp án

Công sinh bởi lực $overrightarrow F$ được tính bằng công thức

$A = overrightarrow F .overrightarrow d = left| {overrightarrow F } right|.left| {overrightarrow d } right|.cos left( {overrightarrow F ,overrightarrow d } right) = 90.100.cos 60^circ = 4500 (J)$

Vậy công sinh bởi lực $overrightarrow F$ có độ lớn bằng 4500 (J)

Bài 6 trang 101

Cho hai vectơ có độ dài lần lượt là 3 và 4 có tích vô hướng là – 6. Tính góc giữa hai vectơ đó.

Gợi ý đáp án

Ta cho: $left| {overrightarrow a } right| = 3;left| {overrightarrow b } right| = 4 và overrightarrow a .overrightarrow b = - 6$

Ta có công thức:

$overrightarrow a .overrightarrow b = left| {overrightarrow a } right|.left| {overrightarrow b } right|.cos left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = 3.4.cos left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right)$

$overrightarrow a .overrightarrow b = - 6 Rightarrow 3.4.cos left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = - 6 Rightarrow cos left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = - frac{1}{2}$