Toán 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

0 2 minutes read

Giải Toán 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ Chân trời sáng tạo là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh lớp 10 có thêm nhiều gợi ý tham khảo, dễ dàng đối chiếu kết quả khi làm bài tập toán trang 93.

Giải SGK Toán 10 Bài 2 trang 93 Chân trời sáng tạo tập 1 được biên soạn chi tiết, bám sát nội dung trong sách giáo khoa. Mỗi bài toán đều được giải thích cụ thể, chi tiết. Qua đó giúp các em củng cố, khắc sâu thêm kiến thức đã học trong chương trình chính khóa; có thể tự học, tự kiểm tra được kết quả học tập của bản thân.

Bạn đang xem: Toán 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

Giải Toán 10 trang 93 Chân trời sáng tạo – Tập 1

Bài 1 trang 93

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

$a) overrightarrow {BA} + overrightarrow {DC} = overrightarrow {0;}$

$b) overrightarrow {MA} + overrightarrow {MC} = overrightarrow {MB} + overrightarrow {MD}$

Gợi ý đáp án

a) ABCD là hình bình hành nên $overrightarrow {DC} = overrightarrow {AB}$

$Rightarrow overrightarrow {BA} + overrightarrow {DC} = overrightarrow {BA} + overrightarrow {AB} = overrightarrow {BB} = overrightarrow 0$

$b) overrightarrow {MA} + overrightarrow {MC} = left( {overrightarrow {MB} + overrightarrow {BA} } right) + left( {overrightarrow {MD} + overrightarrow {DC} } right)$

$= overrightarrow {MB} + overrightarrow {MD} (Vì overrightarrow {BA} + overrightarrow {DC} = overrightarrow {0} )$

Bài 2 trang 93

Cho tứ giác ABCD, thực hiện cả phép cộng và trừ vectơ sau:

$a) overrightarrow {AB} + overrightarrow {BC} + overrightarrow {CD} + overrightarrow {DA};$

$b) overrightarrow {AB} - overrightarrow {AD}$

$c) overrightarrow {CB} - overrightarrow {CD}$ .

Gợi ý đáp án

a) $overrightarrow {AB} + overrightarrow {BC} + overrightarrow {CD} + overrightarrow {DA} = left( {overrightarrow {AB} + overrightarrow {BC} } right) + left( {overrightarrow {CD} + overrightarrow {DA} } right)$

$= overrightarrow {AC} + overrightarrow {CA} = overrightarrow {AA} = overrightarrow 0$

$b) overrightarrow {AB} - overrightarrow {AD} = overrightarrow {AB} + overrightarrow {DA} = overrightarrow {DA} + overrightarrow {AB} = overrightarrow {DB}$

$c) overrightarrow {CB} - overrightarrow {CD} = overrightarrow {CB} + overrightarrow {DC} = overrightarrow {DC} + overrightarrow {CB} = overrightarrow {DB}$

Bài 3 trang 93

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài các vectơ:

$a) overrightarrow {BA} + overrightarrow {AC} ;$

$b) overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} ;$

$c) overrightarrow {BA} - overrightarrow {BC} .$

Gợi ý đáp án

$a) overrightarrow {BA} + overrightarrow {AC} = overrightarrow {BC} Rightarrow left| {overrightarrow {BC} } right| = BC = a$

b) Dựng hình bình hành ABDC, giao điểm của hai đường chéo là O ta có:

$overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} = overrightarrow {AD}$

$AD = 2AO = 2sqrt {A{B^2} - B{O^2}} = 2sqrt {{a^2} - {{left( {frac{a}{2}} right)}^2}} = asqrt 3$

$Rightarrow left| {overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} } right| = left| {overrightarrow {AD} } right| = AD = asqrt 3$

$c) overrightarrow {BA} - overrightarrow {BC} = overrightarrow {BA} + overrightarrow {CB} = overrightarrow {CB} + overrightarrow {BA} = overrightarrow {CA}$

$Rightarrow left| {overrightarrow {BA} - overrightarrow {BC} } right| = left| {overrightarrow {CA} } right| = CA = a$

Bài 4 trang 93

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Chứng minh rằng:

$a) overrightarrow {OA} - overrightarrow {OB} = overrightarrow {OD} - overrightarrow {OC;}$

$b) overrightarrow {OA} - overrightarrow {OB} + overrightarrow {DC} = overrightarrow 0$

Gợi ý đáp án

$a) overrightarrow {OA} - overrightarrow {OB} = overrightarrow {BA}$

$overrightarrow {OD} - overrightarrow {OC} = overrightarrow {CD}$

Do ABCD là hình bình hành nên $overrightarrow {BA} = overrightarrow {CD}$

Suy ra, $overrightarrow {OA} - overrightarrow {OB} = overrightarrow {OD} - overrightarrow {OC}$

$b) overrightarrow {OA} - overrightarrow {OB} + overrightarrow {DC} = (overrightarrow {OD} - overrightarrow {OC}) + overrightarrow {DC} \= overrightarrow {CD} + overrightarrow {DC} = overrightarrow {CC} = overrightarrow 0$

Bài 5 trang 93

Cho ba lực $overrightarrow {{F_1}} = overrightarrow {MA} ,overrightarrow {{F_2}} = overrightarrow {MB} và overrightarrow {{F_3}} = overrightarrow {MC}$ cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của $overrightarrow {{F_1}} ,overrightarrow {{F_2}}$ đều là 10 N và $widehat {AMB} = 90^circ$ Tìm độ lớn của lực $overrightarrow {{F_3}} .$

Gợi ý đáp án

Ba lực $overrightarrow {{F_1}} ,overrightarrow {{F_2}} ,overrightarrow {{F_3}}$ cùng tác dụng vào M và vật đứng yên nên hợp lực của chúng có giá trị bằng không, hay: $overrightarrow {{F_1}} + overrightarrow {{F_2}} + overrightarrow {{F_3}} = overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} + overrightarrow {MC} = overrightarrow 0$

Dựng hình bình hành MADB, khi đó: $overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB}= overrightarrow {MD}$

$Rightarrow overrightarrow {MD} + overrightarrow {MC} = overrightarrow {0}$

$Rightarrow overrightarrow {MD}, overrightarrow {MC}$ là hai vecto đối nhau

$Rightarrow MD =MC$

Xét hình bình hành MADB, ta có:

AM=AB và $widehat {AMB} = 90^circ$

$Rightarrow$ MADB là hình vuông, cạnh AB=10

$Rightarrow MC = MD = AB. sqrt{2} = 10sqrt{2}$

Vậy độ lớn của lực $overrightarrow {{F_3}}$ là $left| {overrightarrow {{F_3}} } right| = left| {overrightarrow {MC} } right| = MC = 10sqrt 2 (N)$

Bài 6 trang 93

Khi máy bay nghiêng cánh một góc $alpha ,$ lực $overrightarrow F$ của không khí tác động vuông góc với cánh và bằng tổng của lực nâng $overrightarrow {{F_1}}$ và lực cản $overrightarrow {{F_2}}$ (Hình 16). Cho biết $alpha = 30^circ$ và $left| {overrightarrow F } right| = a.$ Tính $left| {overrightarrow {{F_1}} } right|$ và $left| {overrightarrow {{F_2}} } right|$ theo a.

Gợi ý đáp án

Kí hiệu các điểm như hình dưới.

Khi đó các lực $overrightarrow F ,overrightarrow {{F_1}} ,overrightarrow {{F_2}} lần lượt là overrightarrow {AC} ,overrightarrow {AD} ,overrightarrow {AB}$

$alpha = widehat {{rm{BAx}}} = 30^circ Rightarrow widehat {CAB} = 60^circ$

$AB = AC.c{rm{os}}widehat {CAB} = a.c{rm{os60}}^circ {rm{ = }}frac{a}{2} Rightarrow left| {overrightarrow {{F_2}} } right| = left| {overrightarrow {AB} } right| = frac{a}{2}$

$AD = BC = AC.sin widehat {CAB} = a.sin 60^circ = frac{{asqrt 3 }}{2} Rightarrow left| {overrightarrow {{F_1}} } right| = left| {overrightarrow {AD} } right| = AD = frac{{asqrt 3 }}{2}$

Vậy $left| {overrightarrow {{F_1}} } right| = frac{{asqrt 3 }}{2};left| {overrightarrow {{F_2}} } right| = frac{a}{2}$

Bài 7 trang 93

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K thỏa mãn $overrightarrow {KA} + overrightarrow {KC} = overrightarrow 0 ;overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} = overrightarrow 0 ;overrightarrow {HA} + overrightarrow {HD} + overrightarrow {HC} = overrightarrow 0$ . Tính độ dài các vectơ $overrightarrow {KA} ,overrightarrow {GH} ,overrightarrow {AG} .$

Gợi ý đáp án

Ta có $AC = ABsqrt 2 = asqrt 2$

$+) overrightarrow {KA} + overrightarrow {KC} = overrightarrow 0 ,$

Suy ra K là trung điểm $AC Rightarrow AK = frac{1}{2}.asqrt 2 = frac{{asqrt 2 }}{2}$

$+) overrightarrow {HA} + overrightarrow {HD} + overrightarrow {HC} = overrightarrow 0$ , suy ra H là trọng tâm của tam giác ADC

$Rightarrow DH = frac{2}{3}DK = frac{1}{3}DB (1)$

$+) overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} = overrightarrow 0$ , suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC

$Rightarrow BG = frac{2}{3}BK = frac{1}{3}BD (2)$

$(1,2) Rightarrow HG = frac{1}{3}BD=frac{{asqrt 2 }}{3}$

Mà $KG = KH = frac{1}{2}HG= frac{{asqrt 2 }}{6} (2)$

$Rightarrow AG = sqrt {A{K^2} + G{K^2}} = sqrt {{{left( {frac{{asqrt 2 }}{2}} right)}^2} + {{left( {frac{{asqrt 2 }}{6}} right)}^2}} = frac{{asqrt 5 }}{3}$

$Rightarrow left| {overrightarrow {AG} } right| = frac{{asqrt 5 }}{3}$

Vậy $left|overrightarrow {KA}right| =frac{{asqrt 2 }}{2} ,left|overrightarrow {GH}right|=frac{{asqrt 2 }}{3} ,left|overrightarrow {AG}right|=frac{{asqrt 5 }}{3} .$

Bài 8 trang 93

Một con tàu có vectơ vận tốc chỉ theo hướng nam, vận tốc của dòng nước là một vectơ theo hướng đông như hình 17. Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói trên.

Gợi ý đáp án

Gọi vecto vận tốc của tàu là $overrightarrow {AB}$ , vecto vận tốc của dòng nước là vecto $overrightarrow {BC}$

Ta có vectơ tổng là $overrightarrow F = overrightarrow {AB} + overrightarrow {BC} = overrightarrow {AC}$

Độ dài vectơ tổng là $left| {overrightarrow F } right| = left| {overrightarrow {AC} } right| = AC = sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = sqrt {{{30}^2} + {{10}^2}} = 10sqrt {10} (km/h)$