Giải bài tập Toán 7 Bài 6: Tính chất ba đường phân giác của tam giác để xem gợi ý giải các bài tập trang 72, 73 thuộc chương trình Hình học lớp 7 tập 2.
Tài liệu được biên soạn với nội dung bám sát chương trình sách giáo khoa trang 72, 73 Toán lớp 7 tập 2. Qua đó giúp học sinh lớp 7 tham khảo nắm vững hơn kiến thức trên lớp. Mời các bạn cùng theo dõi bài tại đây.
Bạn đang xem: Giải Toán 7 Bài 6: Tính chất ba đường phân giác của tam giác
Lý thuyết Tính chất ba đường phân giác của tam giác
A. Đường phân giác của tam giác
– Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm M, khi đó đoạn thẳng AM được gọi là đường phân giác (xuất phát từ đỉnh A) của tam giác ABC. Ta cũng gọi đường thẳng AM là đường phân giác của tam giác ABC.
– Mỗi tam giác có ba đường phân giác.
Tính chất: Trong một tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đối diện với đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy.
B. Tính chất ba đường phân giác của tam giác
Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.
Tam giác ABC có ba đường phân giác giao nhau tại I, khi đó:
Góc A1 = góc A2
Góc B1 = góc B2
Góc C1 = góc C2
Giải bài tập toán 7 trang 72 tập 2
Bài 36 (trang 72 SGK Toán 7 Tập 2)
Cho tam giác DEF, điểm I nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của nó. Chứng minh I là điểm chung của ba đường phân giác của tam giác DEF.
Áp dụng kiến thức: Nếu một điểm nằm trong một góc và cách đều hai cạnh của góc đó thì nằm trên phân giác của góc đó.
Gọi IH, IK, IL lần lượt là khoảng cách từ I đến EF, DF, DE.
Theo đề bài, điểm I cách đều ba cạnh của ΔDEF ⇒ IH = IK = IL
IL = IK ⇒ I cách đều hai cạnh của góc D ⇒ I nằm trên đường phân giác của góc D.
IH = IK ⇒ I cách đều hai cạnh của góc F ⇒ I nằm trên đường phân giác của góc F.
IH = IL ⇒ I cách đều hai cạnh của góc E ⇒ I nằm trên đường phân giác của góc E.
Từ 3 điều trên suy ra I là điểm chung của ba đường phân giác của tam giác DEF.
Vẽ hình minh họa:
Bài 37 (trang 72 SGK Toán 7 Tập 2)
Nêu cách vẽ điểm K ở trong tam giác MNP mà các khoảng cách từ K đến ba cạnh của tam giác đó bằng nhau. Vẽ hình minh họa.
Áp dụng kiến thức: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác.
Theo đó:
Điểm K ở trong tam giác MNP mà các khoảng cách từ K đến ba cạnh của tam giác đó bằng nhau Theo định lí ⇒ K là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác MNP.
Vì vậy ta chỉ cần vẽ phân giác của hai trong ba góc của ∆MNP.
Cách vẽ :
– Vẽ ΔMNP
– Vẽ đường phân giác của hai góc M và N : MA là phân giác góc M ; NB là phân giác góc B
Chúng cắt nhau tại K
– K là điểm cần vẽ
Vẽ hình:
Bài 38 (trang 73 SGK Toán 7 Tập 2)
Cho hình 38.
a) Tính góc KOL.
b) Kẻ tia IO, hãy tính góc KIO.
c) Điểm O có cách đều ba cạnh của tam giác IKL không? Tại sao?
Vẽ hình:
a) ∆KIL có (Theo định lí tổng ba góc trong một tam giác)
Mà
Vì KO và LO lần lượt là phân giác nên
Suy ra
∆KOL có (Theo định lí tổng ba góc trong một tam giác)
Mà nên
b) ΔKIL có O là giao điểm của hai đường phân giác KO và LO nên IO là đường phân giác của góc KIL (định lí ba đường phân giác cùng đi qua một điểm).
Do đó:
c) Vì O là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác IKL nên O cách đều ba cạnh của tam giác IKL. (Theo định lí về tính chất của ba đường phân giác trong tam giác)
Giải bài tập toán 7 trang 72 tập 2: Luyện tập
Bài 39 (trang 73 SGK Toán 7 Tập 2)
Cho hình 39.
a) Chứng minh ΔABD = ΔACD
b) So sánh góc DBC và góc DCB.
a) Căn cứ vào các kí hiệu đã cho trên hình của bài 39 ta có:
ΔABD và ΔACD có:
AB = AC
AD là cạnh chung
⇒ ΔABD = ΔACD (c.g.c)
b) Vì ΔABD = ΔACD (chứng minh câu a)
⇒ BD = CD (hai cạnh tương ứng)
⇒ ΔBCD cân tại D
Suy ra (Tính chất tam giác cân)
Bài 40 (trang 73 SGK Toán 7 Tập 2)
Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm, I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Chứng minh ba điểm A, G, I thẳng hàng.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC.
Vì G là trọng tâm nên G nằm trên trung tuyến AM (1)
Vì I cách đều ba cạnh của tam giác nên I là giao điểm của ba đường phân giác trong của ΔABC.
Xét và
có:
+) AM chung
+) AB=AC (Vì tam giác ABC cân tại A)
+) BM=CM (Vì M là trung điểm của BC)
(c.c.c)
(Hai góc tương ứng).
Do đó AM là tia phân giác
Hay AM là trung tuyến đồng thời là đường phân giác trong của tam giác ABC
Do đó I nằm trên AM (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm A, G, I thẳng hàng (điều phải chứng minh).
Bài 41 (trang 73 SGK Toán 7 Tập 2)
Hỏi trọng tâm của một tam giác đều có cách đều ba cạnh của nó hay không? Vì sao?
Giả sử ∆ABC đều có trọng tâm G. Các điểm E, N, M lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC.
Vì ∆ABC đều nên ba trung tuyến AN, BM, CE bằng nhau (áp dụng chứng minh bài 29 trang 67 SGK toán 7 tập 2)
⇒ GA = GB = GC
Xét ∆AMG và ∆CMG ta có:
+) GA = GC (chứng minh trên)
+) AM = MC (vì M là trung điểm của AC)
+) Cạnh MG chung
Vậy ∆AMG = ∆CMG (c.c.c)
Mà (2 góc kề bù)
⇒ GM ⊥ AC tức là GM là khoảng cách từ G đến AC.
Chứng minh tương tự GE, GN là khoảng cách từ G đến AB, BC.
Mà
Và AN = BM = EC nên GM = GN = GE.
Hay G cách đều ba cạnh của tam giác ABC.
Bài 42 (trang 73 SGK Toán 7 Tập 2)
Chứng minh định lí: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là một tam giác cân.
Gợi ý: Trong ΔABC, nếu AD là đường trung tuyến vừa là đường phân giác thì kéo dài AD một đoạn DA1, sao cho DA1 = AD.
Gọi AD là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của góc A trong ΔABC. Ta chứng minh ∆ABC cân tại A.
Kéo dài AD một đoạn
Xét ∆ADC và ∆{A_1}DB ta có:
+) DC = DB (do AD là trung tuyến)
+) (2 góc đối đỉnh)
+) (do cách vẽ)
Vậy (c.g.c)
và
Mà (Vì AD là phân giác)
Xét tam giác có
Vậy tam giác cân tại B
Từ (1) và (2) suy ra AB = AC.
Vậy ∆ABC cân tại A.
Tức là: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.
Bài 43 (trang 73 SGK Toán 7 Tập 2)
Đố: Có hai con đường cắt nhau và cùng cắt một con sông tại hai địa điểm khác nhau (h.40).
Hãy tìm một địa điểm để xây dựng một đài quan sát sao cho khoảng cách từ đó đến hai con đường và đến bờ sông bằng nhau.
Có tất cả mấy địa điểm như vậy?
Hai con đường cắt nhau và cùng cắt một con sông tạo thành tam giác ABC.
Vì khoảng cách từ điểm cần xây đến hai con đường và bờ sông là như nhau nên địa điểm để xây dựng đài quan sát thỏa mãn đề bài có thể là
-TH1: giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác ABC.
TH2 : giao điểm M của hai tia phân giác ngoài và một tia phân giác trong. Ta có ba điểm M như vậy.
Vậy có tất cả 4 điểm có thể xây dựng đài quan sát thỏa mãn điều kiện.
Đăng bởi: THPT Nguyễn Đình Chiểu
Chuyên mục: Tài Liệu Lớp 7
