Toán 10 Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế

thptnguyendinhchieu Tháng sáu 23, 2024

0 3 minutes read

Giải Toán 10 Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế giúp các em học sinh lớp 10 tham khảo, biết cách giải các bài tập trong SGK Toán 10 Tập 1 chương 4 trang 77, 78 sách Chân trời sáng tạo.

Giải SGK Toán 10 chương 4 bài 3 sách Chân trời sáng tạo Tập 1 giúp các em học sinh nắm được cách trình bày, cách triển khai để giải được các bài tập trong sách giáo khoa. Từ đó các em học sinh tự bồi dưỡng và nâng cao kiến thức tự tin giải quyết tốt các bài tập. Đồng thời đây cũng là tư liệu hữu ích giúp thầy cô tham khảo để soạn giáo án cho riêng mình.

Bạn đang xem: Toán 10 Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Table of Contents

Giải Toán 10 trang 77, 78 Chân trời sáng tạo – Tập 1

Bài 1 trang 77

Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) $AB = 14,AC = 23,widehat A = {125^o}.$

b) $BC = 22,4;widehat B = {64^o};widehat C = {38^o}.$

c) $AC = 22,widehat B = {120^o},widehat C = {28^o}.$

d) AB = 23,AC = 32,BC = 44

Gợi ý đáp án

$a) AB = 14,AC = 23,widehat A = {125^o}.$

Ta cần tính cạnh BC và hai góc $widehat B,widehat C.$

Áp dụng định lí cosin, ta có:

$begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.cos A\ Leftrightarrow B{C^2} = {14^2} + {23^2} - 2.14.23.cos {125^o}\ Rightarrow BC approx 33end{array}$

Áp dụng định lí sin, ta có:

$begin{array}{l}frac{{BC}}{{sin A}} = frac{{AC}}{{sin B}} = frac{{AB}}{{sin C}} Leftrightarrow frac{{33}}{{sin {{125}^o}}} = frac{{23}}{{sin B}} = frac{{14}}{{sin C}}\ Rightarrow sin B = frac{{23.sin {{125}^o}}}{{33}} approx 0,57\ Rightarrow widehat B approx {35^o} Rightarrow widehat C approx {20^o}end{array}$

b) $BC = 22,4;widehat B = {64^o};widehat C = {38^o}.$

Ta cần tính góc A và hai cạnh AB, AC.

Ta có: $widehat A = {180^o} - widehat B - widehat C = {180^o} - {64^o} - {38^o} = {78^o}$

Áp dụng định lí sin, ta có:

$begin{array}{l}frac{{BC}}{{sin A}} = frac{{AC}}{{sin B}} = frac{{AB}}{{sin C}} Leftrightarrowfrac{{22}}{{sin {{78}^o}}} = frac{{AC}}{{sin {{64}^o}}} = frac{{AB}}{{sin {{38}^o}}}\ Rightarrow left{ begin{array}{l}AC = sin {64^o}.frac{{22}}{{sin {{78}^o}}} approx 20,22\AB = sin {38^o}.frac{{22}}{{sin {{78}^o}}} approx 13,85end{array} right.end{array}$

c) $AC = 22,widehat B = {120^o},widehat C = {28^o}.$

Ta cần tính góc A và hai cạnh AB, BC.

Ta có $: widehat A = {180^o} - widehat B - widehat C = {180^o} - {120^o} - {28^o} = {32^o}$

Áp dụng định lí sin, ta có:

$begin{array}{l}frac{{BC}}{{sin A}} = frac{{AC}}{{sin B}} = frac{{AB}}{{sin C}} Leftrightarrow frac{{BC}}{{sin {{32}^o}}} = frac{{22}}{{sin {{120}^o}}} = frac{{AB}}{{sin {{28}^o}}}\ Rightarrow left{ begin{array}{l}BC = sin {32^o}.frac{{22}}{{sin {{120}^o}}} approx 13,5\AB = sin {28^o}.frac{{22}}{{sin {{120}^o}}} approx 12end{array} right.end{array}$

d) AB = 23,AC = 32,BC = 44

Ta cần tính số đo ba góc $widehat A,widehat B,widehat C$

Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta có:

$begin{array}{l}cos A = frac{{A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}};cos B = frac{{B{C^2} + A{B^2} - A{C^2}}}{{2.BC.BA}}\ Rightarrow cos A = frac{{{{32}^2} + {{23}^2} - {{44}^2}}}{{2.32.23}} = frac{{ - 383}}{{1472}};cos B = frac{{{{44}^2} + {{23}^2} - {{32}^2}}}{{2.44.23}} = frac{{131}}{{184}}\ Rightarrow widehat A approx {105^o},widehat B = {44^o}36'\ Rightarrow widehat C = {30^o}24'end{array}$

Bài 2 trang 77

Để lắp đường dây diện cao thế từ vị trí A đến vị trí B, do phải tránh một ngọn núi nên người ta phải nối đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10 km, sau đó nối đường dây từ vị trí C đến vị trí B dài 8km. Góc tạo bởi hai đoạn dây AC và CB là ${70^o}$ . Tính chiều dài tăng thêm vì không thể nối trực tiếp từ A đến B.

Gợi ý đáp án

Áp dụng định lí cosin, ta có:

$begin{array}{l}A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} - 2.BC.AC.cos C\ Leftrightarrow A{B^2} = {8^2} + {10^2} - 2.8.10.cos {70^o}\ Rightarrow AB approx 10,45end{array}$

Vậy chiều dài tăng thêm vì không thể nối trực tiếp là:

AC + CB – AB = 10 + 8 – 10,45 = 7,55 (km).

Bài 3 trang 77

Một người đứng cách thân một các quạt gió 16 m và nhìn thấy tâm của cánh quạt với góc nâng $56,{5^o}$ (Hình 8). Tính khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất. Cho biết khoảng cách từ mắt của người đó đến mặt đất là 1,5m.

Gợi ý đáp án

Kí hiệu các điểm A, B, C như hình dưới.

Cách 1:

Ta có: $widehat B = {90^o} - 56,{5^o} = 33,{5^o}$

Áp dụng định lí sin, ta có: $frac{{BC}}{{sin A}} = frac{{AC}}{{sin B}}$

$Rightarrow BC = sin A.frac{{AC}}{{sin B}} = sin 56,{5^o}.frac{{16}}{{sin 33,{5^o}}} approx 24,2;(m)$

Vậy khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất là 24,2 + 1,5 = 15,7(m)

Bài 4 trang 78

Tính chiều cao AB của một ngọn núi. Biết tại hai điểm C, D cách nhau 1 km trên mặt đất (B, C, D thẳng hàng), người ta nhìn thấy đỉnh A của núi với góc nâng lần lượt là ${32^ circ } và {40^ circ }$ (Hình 9).

Gợi ý đáp án

Tam giác ABC vuông tại B nên ta có

: $tan C = frac{{AB}}{{CB}} Leftrightarrow AB = tan {32^ circ }.(1 + x)$

Tam giác ADB vuông tại B nên ta có:

$tan D = frac{{AB}}{{DB}} Leftrightarrow AB = tan {40^ circ }.x$

$begin{array}{l} Rightarrow tan {32^ circ }.(1 + x) = tan {40^ circ }.x\ Leftrightarrow x.(tan {40^ circ } - tan {32^ circ }) = tan {32^ circ }\ Leftrightarrow x = frac{{tan {{32}^ circ }}}{{tan {{40}^ circ } - tan {{32}^ circ }}}\ Leftrightarrow x approx 2,9;(km)end{array}$

$Rightarrow AB approx tan {40^ circ }.2,92 approx 2,45;(km)$

Vậy chiều cao của ngọn núi là 2,45 km.

Bài 5 trang 78

Hai người quan sát khinh khí cầu tại hai địa điểm P và Q nằm ở sườn đồi nghiêng ${32^ circ }$ so với phương ngang, cách nhau 60 m (Hình 10). Người quan sát tại P xác định góc nâng của khinh khí cầu là ${62^ circ }.$ Cùng lúc đó, người quan sát tại Q xác định góc nâng của khinh khí cầu đó là ${70^ circ }.$ Tính khoảng cách từ Q đến khinh khí cầu.

Gợi ý đáp án

Gọi A là vị trí của khinh khí cầu, Pt là đường sườn đồi như hình.

Ta có:

Tại P, góc nâng của khinh khí cầu là

${62^ circ } Rightarrow widehat P = {62^ circ } - {32^ circ } = {30^ circ }$

Tại Q, góc nâng của khinh khí cầu là ${70^ circ } Rightarrow widehat {AQt} = {70^ circ } - {32^ circ } = {38^ circ }$

$Rightarrow widehat {AQP} = {180^ circ } - {38^ circ } = {142^ circ } và widehat A = {180^ circ } - {142^ circ } - {30^ circ } = {8^ circ }$

Áp dụng định lí sin trong tam giác APQ, ta có:

$begin{array}{l}frac{{PQ}}{{sin A}} = frac{{QA}}{{sin P}}\ Rightarrow QA = sin P.frac{{PQ}}{{sin A}} = sin {30^ circ }.frac{{60}}{{sin {8^ circ }}} approx 215,56;(m)end{array}$

Vậy khoảng cách từ Q đến khinh khí cầu là 215,56 m.

Bài 6 trang 78

Một người đứng ở trên một tháp truyền hình cao 352 m so với mặt đất, muốn xác định khoảng cách giữa hai cột mốc trên mặt dất bên dưới. Người đó quan sát thấy góc được tạo bởi hai đường ngắm tới hai mốc này là ${43^ circ }$ , góc giữa phương thẳng đứng và đường ngắm tới một điểm mốc trên mặt đất là ${62^ circ }$ và đến điểm mốc khác là ${54^ circ }$ (Hình 11). Tính khoảng cách giữa hai cột mốc này.

Gợi ý đáp án

Gọi các điểm A, B, C, H như hình trên.

Xét tam giác ABH ta có:

$AH = 352,;widehat {BAH} = {62^ circ }$

Mà $cos widehat {BAH} = frac{{AH}}{{AB}} Rightarrow AB = 352.cos {62^ circ } approx 165,25$

Tương tự, ta có: $cos widehat {CAH} = frac{{AH}}{{AC}} Rightarrow AC = 352.cos {54^ circ } approx 206,9$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

$begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.cos A\ Leftrightarrow B{C^2} = 165,{25^2} + 206,{9^2} - 2.165,25.206,9.cos {43^ circ }\ Rightarrow BC approx 141,8end{array}$